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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 6

Se os vetores u ,   v   e   w não são coplanares, mostre geometricamente que todo vetor do espaço se exprime como combinação linear

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Para esse exercício é totalmente demonstrativo, então terá muita álgebra envolvida, ok ?

Bora começar então!

Quando 3 vetores não são coplanares podemos afirmar que formarão um triangulo △ no plano ( x - y ) , com os vértices nas coordenadas O =   ( 0,0 ) ,   E   =   ( 1,0 ) ,   F   =   ( 0,1 ) , como um conjunto de pontos que pode ser descrito como:

△   =   {   (   x   ,   y )   ∈ R ² | x   ≥   0   ,   y   ≥   0   ,   x   +   y   ≤   1   }

Agora vamos introduzir os vetores   e = O E → , f =   O F → , onde podemos rescrever o conjunto acima como :

△   =   {   β e   + γ f | β ≥   0   ,   γ   ≥   0   ,   β   +   γ ≤   1

Tudo na tranquilidade?

Passo 2

Quase acabando!

Podemos escrever esse mesmo triangulo T no espaço da forma a obter:

T =   {   u   +   β (   v   -   u   )   +   γ (   w   -   u   ) | β ≥   0   ,   γ   ≥   0   ,   β   +   γ ≤   1   }   .  

Se agora colocarmos α   =   1   -   β -   γ então α , β , γ cumprir exatamente suas condições de combinação linear, e um tem:

T =   {   α   u   +   β v   + γ W | α   ≥   0   ,   β   ≥   0   ,   γ   ≥   0   ,   α   +   β   +   γ =   1   }   .

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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