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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.7.5 - Ex. 9

Três pontos de escuta estão localizados nos pontos A ( 0 ,   0 ) , B 0 , 21 4 e C ( 25 3 , 0 ) , sendo a unidade 1 quilômetro. Os microfones localizados nestes pontos mostram que um revólver está 5 3 k m mais próximo de A e do que de C e 7 4 k m mais próximo de B do que de A . Localiza a posição do revólver.

Passo 1

Vamos escrever as equações da diferença das distâncias. A primeira mostra que o revólver está 5 3 k m mais próximo de A que de C .

d C - d A = 5 3

A segunda mostra que o revólver está 7 4 k m mais próximo de B que de A . Assim:

d A - d B = 7 4

Passo 2

Agora vamos passar essas equações para coordenadas:

x - 25 3 2 + y 2 - x 2 + y 2 = 5 3 x 2 + y 2 - x 2 + y - 21 4 2 = 7 4

Vamos reescrever assim:

x - 25 3 2 + y 2 = x 2 + y 2 + 5 3 x 2 + y 2 - 7 4 = x 2 + y - 21 4 2

Elevando as duas ao quadrado:

x 2 - 50 3 x + 625 9 + y 2 = x 2 + y 2 + 10 3 x 2 + y 2 + 25 9 x 2 + y 2 - 21 2 y + 441 16 = x 2 + y 2 - 7 2 x 2 + y 2 + 49 16

Arrumando as equações:

- 50 3 x + 625 9 = 10 3 x 2 + y 2 + 25 9 - 21 2 y + 441 16 = - 7 2 x 2 + y 2 + 49 16

Dando uma brincada e isolando o termo com raiz:

x 2 + y 2 = - 50 3 x + 600 9 10 3   x 2 + y 2 = - 21 2 y + 392 16 - 7 2

Passo 3

Igualando as duas equações:

- 21 2 y + 392 16 - 7 2 = - 50 3 x + 600 9 10 3

Desenvolvendo, vamos encontrar:

x = 27 - 3 y 5

Aí, substituindo essa treta aí na segunda equação, vamos ficar com uma equação só em y :

27 - 3 y 5 2 + y 2 = - 21 2 y + 392 16 - 7 2 = 3 y - 7

Elevando ao quadrado e fazendo as contas, vamos encontrar a solução:

27 - 3 y 5 2 + y 2 = 9 y 2 - 42 y + 49

E aí, resolvendo:

y = 4

E substituindo,

x = 27 - 3 4 5

x = 3

Por isso, o revólver está no ponto ( 3 ,   4 ) .

Resposta

O revólver está no ponto ( 3 ,   4 ) .

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