Seja V o espaço vetorial R n , definido no Exemplo 2 de 4.2.2. Qual é o vetor nulo de V e o que é - ( x 1 , x 2 , … , x n ) ? Seja W = M ( 2,2 ) (veja 4.2.2 Exemplo 3 i )) descreva o vetor nulo e vetor oposto.

Vetor nulo: ( 0,0 , … , 0 ) . É o vetor oposto.Vetor nulo:0 0 0 0 . Vetor oposto: V = - w 1 w 2 w 3 w 4 .

Enunciado

Para definir o vetor nulo de um espaço vetorial, primeiro devemos lembrar o que é o vetor nulo.

Na propriedade , temos que o vetor nulo é aquele que, quando somado a um vetor do espaço vetorial, retorna o mesmo vetor , isto é:

Nesse caso, seja e o vetor nulo. Então:

Ou seja:

Lembrando que dois vetores são iguais se, e somente se, suas componentes correspondentes são iguais, então temos que, para um :

Do que a gente tem que é o vetor nulo.

Observe que se temos , então , isto é, é o vetor oposto de um vetor qualquer do subspaço.

Um passo muito importante ao lidar com espaços vetoriais é verificar como são definidas as operações de soma e e multiplicação por escalar. Ao conferir o exemplo , elas são definidas de maneira usual.

Vamos então investigar para descobrir qual é o vetor nulo desse subspaço. Seja o vetor nulo e um vetor qualquer desse subspaço. Então:

Queremos que isso seja igual a , então:

Lembrando da igualdade de matrizes, podemos escrever, para qualquer um dos elementos das duas matrizes:

Do que a gente conclui que:

Seja então o vetor oposto. A gente sabe que:

De outra forma:

Igualando as matrizes:

Do que a gente tem que:

Como a multiplicação por escalar é definida da maneira usual, temos ainda: