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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 1

  1. Seja V o espaço vetorial R n , definido no Exemplo 2 de 4.2.2. Qual é o vetor nulo de V e o que é - ( x 1 , x 2 , … , x n ) ?
  2. Seja W = M ( 2,2 ) (veja 4.2.2 Exemplo 3 i )) descreva o vetor nulo e vetor oposto.

Passo 1

  1. Para definir o vetor nulo de um espaço vetorial, primeiro devemos lembrar o que é o vetor nulo.

    2. Na propriedade i i i ) , temos que o vetor nulo é aquele que, quando somado a um vetor u do espaço vetorial, retorna o mesmo vetor u , isto é:

    u + v e t o r   n u l o = u

    Nesse caso, seja u = ( x 1 , x 2 , … , x n ) e w = ( w 1 , w 2 , … , w n ) o vetor nulo. Então:

    u + w = u ⇒

    ⇒ x 1 , x 2 , … , x n + w 1 , w 2 , … , w n = ( x 1 , x 2 , … , x n )

    Ou seja:

    x 1 + w 1 , x 2 + w 2 , … , x n + w n = ( x 1 , x 2 , … , x n )

    Lembrando que dois vetores são iguais se, e somente se, suas componentes correspondentes são iguais, então temos que, para um i ∈ { 1,2 , … , n } :

    x i + w i = x i ⇒ w i = 0   ∀ i ∈ { 1 , … , n }

    Do que a gente tem que w = ( 0,0 , … , 0 ) é o vetor nulo.

    Passo 2

    Observe que se temos u = ( x 1 , x 2 , … , x n ) , então - x 1 , x 2 , … , x n = - u , isto é, é o vetor oposto de um vetor u qualquer do subspaço.

    Passo 3

  2. Um passo muito importante ao lidar com espaços vetoriais é verificar como são definidas as operações de soma e e multiplicação por escalar. Ao conferir o exemplo 3   i ) , elas são definidas de maneira usual.

Vamos então investigar para descobrir qual é o vetor nulo desse subspaço. Seja U o vetor nulo e W um vetor qualquer desse subspaço. Então:

U + W = u 1 u 2 u 3 u 4 + w 1 w 2 w 3 w 4 = u 1 + w 1 u 2 + w 2 u 3 + w 3 u 4 + w 4

Queremos que isso seja igual a W , então:

u 1 + w 1 u 2 + w 2 u 3 + w 3 u 4 + w 4 = w 1 w 2 w 3 w 4

Lembrando da igualdade de matrizes, podemos escrever, para qualquer um dos elementos das duas matrizes:

u i + w i = w i ⇒ u i = 0

Do que a gente conclui que:

U = 0 0 0 0

Passo 2

Seja então V o vetor oposto. A gente sabe que:

V + W = U

De outra forma:

v 1 v 2 v 3 v 4 + w 1 w 2 w 3 w 4 = 0 0 0 0 ⇒ v 1 + w 1 v 2 + w 2 v 3 + w 3 v 4 + w 4 = 0 0 0 0

Igualando as matrizes:

v i + w i = 0 ⇒ v i = - w i

Do que a gente tem que:

V = - w 1 - w 2 - w 3 - w 4

Como a multiplicação por escalar é definida da maneira usual, temos ainda:

V = - w 1 w 2 w 3 w 4 = - W

Resposta

  1. Vetor nulo: ( 0,0 , … , 0 ) . É o vetor oposto.
  2. Vetor nulo:   0 0 0 0 . Vetor oposto: V = - w 1 w 2 w 3 w 4 .
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Qual seria uma base “natural” para P n ? (Veja o Exemplo 4 de 4.2.2). Dê a dimensão deste espaço vetorial.
Mostre que 1 0 0 0 ,0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 E base de M ( 2,2 ) .
Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M 2,2 . Em caso afirmativo exiba geradores. V = a b c dc o ma , b , c , d ∈ Reb = c W = { a b c dc o ma , b , c , d ∈ Reb = c + 1 }