Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 16
Sejam , e como na Definição . Prove que:
- Os focos e o centro de não pertencem a ;
- Nenhum ponto da reta focal de , exterior ao segmento focal, pertence a ;
- Existem precisamente dois pontos e da reta focal de que pertencem a ;
- Se é uma corda qualquer de tal que e , então ;
- A única corda nas condições do item (d) que tem comprimento é
Passo 1
Bom, uma questão como esta é complicada pois não temos nenhum sistema de coordenadas para nos ajudar a provar cada um dos pontos.
Por causa disto, temos que utilizar a definição e algumas relações geométricas para provar cada um dos itens.
Começando pela letra a), vamos verificar que os focos e o centro não pertencem a hipérbole. Para isto, vamos utilizar aqui a definição de uma hipérbole. Ela é dada por:
Sendo . Agora que já sabemos esta definição, vamos supor que (vale para qualquer um dos focos, mas se a gente prova pra um, já satisfaz o nosso problema).
Portanto, se a gente substitui esta relação na definição da hipérbole, temos:
E assim obtemos uma equação que é claramente uma mentira, pois, por definição, .
Agora, vamos supor que o ponto é o centro da hipérbole. Portanto, . Sabemos que a distância do centro para cada um dos focos é . Ao fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, temos:
Outra mentira. Portanto, nem os focos nem o centro pertencem a hipérbole!
Passo 2
Se um ponto pertence ao segmento focal, ele satisfaz a seguinte relação:
É exatamente a equação de uma reta. Só que, para este caso, , pois pertence ao segmento .
Vamos fazer o mesmo que fizemos no passo anterior para resolver a letra a). Vamos substituir o ponto na definição da hipérbole. Portanto,
Se queremos avaliar pontos fora do segmento focal, devemos fazer ou . Começando por , temos:
E assim chegamos a uma mentira! Portanto, não existe valor de que satisfaça a relação acima.
Agora, vamos verificar para . Portanto,
E novamente, chegamos a uma mentira. Portanto, não existe ponto exterior ao segmento focal que pertença a hipérbole!
Passo 3
Agora, para provar que existem dois pontos, os quais são os vértices, que pertencem ao segmento focal e também pertencem a hipérbole, vamos utilizar a mesma relação desenvolvida anteriormente. Ela é:
A única diferença é no intervalo analisado de . Se o ponto pertence ao segmento focal, temos que . Fazendo esta consideração, vamos obter então a seguinte relação:
E assim chegamos em uma relação que é verdade. Como , o segundo membro é menor do que 1. Portanto, existe sim um valor de que satisfaça a relação acima. E na verdade, não é só um valor, são dois, pois:
Logo, existem dois pontos da reta focal de que pertencem a ! E estes dois pontos são os vértices.
Passo 4
Devemos verificar agora se, dada uma corda qualquer da hipérbole, ela satisfaz .
Para isto, precisaremos checar uma propriedade triangular. Vamos formar dois triângulos: e . Aplicando a propriedade triangular, temos:
Somando ambas as equações, temos:
A definição da hipérbole nos diz que:
Portanto, ou . O mesmo irá acontecer com o ponto .
Mas qual a importância disto. Checamos estas relações para ver o caso mais restritivo, isto é, qual o menor valor que pode assumir.
Esta relação será obtida se fizermos e . Portanto, temos:
E assim, provamos a relação da questão.
Passo 5
Para finalizarmos a questão, temos que verificar o que temos de fazer na propriedade triangular para que ela não seja uma inequação, mas sim uma equação.
Isto é, queremos verificar o que deve ocorrer com os pontos e para que a seguinte relação aconteça:
Bom, isto só ocorrerá se os pontos , , e forem colineares. E assim, percebemos que os únicos pontos e pertencentes a hipérbole e colineares com a reta focal são os vértices e . Portanto, só existe uma única corda que satisfaça a relação dada!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)