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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 20d

Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado e as equações das assíntotas da hipérbole:

  1. 25 x 2 - 144 y 2 = 3600
  2. 16 x 2 - 25 y 2 = 400
  3. y 2 - x 2 = 16
  4. 9 y 2 - 4 x 2 = 36
  5. 3 x 2 - y 2 = 3
  6. x 2 - y 2 = m 2   ( m > 0 )

Passo 1

O nosso primeiro passo para identificar os vértices, focos, extremidades do eixo conjugado e equações das assíntotas, é colocar a hipérbole na sua forma reduzida. Ela pode assumir qualquer uma das duas formas a seguir:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

O importante mesmo é deixar unitário no segundo membro!

Portanto, vamos adaptar a nossa função para a forma reduzida da hipérbole.

9 y 2 - 4 x 2 = 3 6

- 4 x 2 + 9 y 2 3 6 = 3 6 3 6

- x 2 36 4 + y 2 36 9 = 1

- x 2 9 + y 2 4 = 1

Passo 2

Como o sinal negativo acompanha a variável x , sabemos então que a hipérbole, que está centrada na origem, possui vértices e focos no eixo O y .

Os parâmetros geométricos da nossa hipérbole são:

a 2 = 9 ⟹ a = 3

b 2 = 4 ⟹ b = 2

Calculando o parâmetro c , temos:

c 2 = a 2 + b 2 = 9 + 4 = 13

c = 13

Agora já temos todas as informações necessárias para determinar o que a questão pede.

Os vértices estão localizados em B = 0 , ± b . Portanto, estão em B = 0 , ± 2 .

Os focos estão em F = 0 , ± c . Portanto, F = 0 , ± 1 3

As extremidades do eixo conjugado estão em A = ± a , 0 . Portanto, A = ± 3 , 0 .

Por fim, as assíntotas são dadas por:

y = ± b a x

y = ± 2 3 x

Resposta

Os vértices estão localizados em A = 0 , ± 2

Os focos estão em F = 0 , ± 13 .

As extremidades do eixo conjugado estão em A = ± 3 , 0 .

Por fim, as assíntotas são dadas por:

y = ± 2 3 x

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