Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 17
Seja uma corda da hipérbole , com uma extremidade em cada ramo (por exemplo, em , em ). Prove que:
- ;
- se, e somente se, é o eixo transverso .
Passo 1
Vamos começar provando a letra a). Para isto, vamos escolher uma hipérbole expressa por:
Tanto faz a hipérbole que estamos trabalhando. Estamos escolhendo esta apenas para facilitar a nossa análise.
Vamos utilizar a notação que a questão nos pediu. Seja e , sendo o ramo direito e o ramo esquerdo.
Sabemos também que e .
Até agora o que fizemos foi expressar as relações pelas condições do problema. Agora é que vamos fazer algo realmente. Vamos calcular a distância entre os pontos e .
Só que:
Portanto,
Portanto,
Portanto,
E assim provamos a nossa primeira relação!
Passo 2
Para provarmos a letra b), precisamos verificar as condições entre as coordenadas para que a nossa inequação se transforme em uma equação.
A dica é simplesmente ver os passos que escrevemos equações. Lá, devemos nos perguntar: o que deveríamos ter feito para que aqui fosse uma igualdade?
Por exemplo, vejamos o caso abaixo:
Para que a relação acima seja uma igualdade, precisamos fazer . Ou, simplesmente, . Pronto, já temos uma primeira relação entre os dois pontos.
Continuando, o segundo passo que escrevemos uma igualdade foi:
O que deveríamos ter feito para que esta inequação se tornasse uma equação:
Simplesmente, deveríamos ter feito e . Com estas coordenadas de , automaticamente temos . E portanto, temos os pontos:
O que implica no ponto ser o eixo transverso . Assim, provamos a nossa relação.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)