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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 18d

Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( 3 ,   - 4 ) se for girado por um ângulo de θ = 90 ° .

Passo 1

Primeiro devemos ter em mente a matriz de rotação R θ apresentada no livro, que é dada por:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora escrevemos as equações em forma de matriz para uma rotação de 90 ° , dessa forma temos:

R 90 ° x → = cos  ⁡ 90   ° - sen ⁡ 90   ° sen ⁡ 90   ° cos ⁡ 90   ° * 3 - 4

Passo 3

Realizando a multiplicação:

R 90 ° x → = 3 * cos ⁡ 90 ° + - 4 * ( - sen ⁡ 90 ° ) 3 * sen ⁡ 90 ° + - 4 * cos ⁡ 90 °

Logo a imagem de 3 , - 4 defletida em um ângulo de 90 ° é:

4 ,   3 .

Resposta

4 ,   3 .

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A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos x de R 3 .
A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos y de R 3 .
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo z .
Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( - 2 ,1 ,2 ) se for girado por um ângulo de θ = - 30 ° em torno do eixo x .
A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos z de R 3 .