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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 23c

A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos z de R 3 .

Passo 1

Para começar temos que ter acesso a formula ( 15 ) que é:

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora vamos lembrar que durante a os vetores devem ser unitários, então façamos assim para um vetor v →   a ,   b ,   c :

R θ v z → = ( 0 ,   0 ,   1 )

Logo onde temos a e b   multiplicando qualquer termo o resultado será 0:

R θ v z → = 0 + cos ⁡ θ 0 + 1 * ( - sen ⁡ θ ) 0 0 + 1 * sen ⁡ θ 0 + cos ⁡ θ 0 0 0 1 * 1 - cos θ + cos ⁡ θ

Passo 3

Organizando a matriz canônica e substituindo os valores obtemos

R θ v z → = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Resposta

R θ v z → = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

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