Use a parte ( a ) do Teorema 4.3 . 1 para provar a parte ( b ) .

Passo 1

Vamos lá, para provar isso vamos fazer o seguinte. Supondo que exista um conjunto G = { v_1 , v_2 , . . . , v_n } que seja subconjunto de S ( n < r ) , assim:

Parte (a): Um conjunto G de dois ou mais vetores é linearmente dependente se, e só se, pelo menos um dos vetores (vamos chamar ele de v_k ) de G pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores em G .

v_k = a_1 v_1 + a_2 v_2 ... + a_n v_n

Sendo, a_1 , a_2 ... . a_n in R .

Porque, G sube S , v_k in S .

Passo 2

Parte (b): Um conjunto G de dois ou mais vetores é linearmente independente se, e só se, nenhum vetor em G pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores em G .

Agora vamos escrever S como o subconjunto de G , para fazermos isso, temos que todos os coeficientes a_i = 0 , sendo i = n + 1 , n + 2 ... r e i = k = - 1 , assim podemos escrever S como, temos que lembrar que S só aceita a solução trivial:

a_1 v_1 + a_2 v_2 ... + a_n v_n - v_k = 0

Assim nosso G se torna:

-> a_1 v_1 + a_2 v_2 ... + a_n v_n - v_k = v_k - v_k = 0

Assim G é linearmente independente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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