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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 9

Prove:

a) ( vec u , vec v , vec w ) é LI <=> ( vec u + vec v , vec u + vec w , vec v + vec w ) é LI.

b) ( vec u , vec v , vec w ) é LI <=> ( vec u + vec v + vec w , vec u - vec v , 3 vec v ) é LI.

Passo 1

a) Para que ( vec u + vec v , vec u + vec w , vec v + vec w ) seja LI, temos o sistema:

alpha (vec u + vec v) + beta (vec u + vec w) + gamma (vec v + vec w) = ( 0 , 0 , 0 )

Onde devemos ter alpha = beta = gamma = 0

alpha vec u + alpha vec v + beta vec u + beta vec w + gamma vec v + gamma vec w = ( 0 , 0 , 0 )

Agrupando os termos:

vec u (alpha + beta) + vec v (alpha + gamma) + vec w (beta + gamma) = ( 0 , 0 , 0 )

Como ( vec u , vec v , vec w ) é LI, temos o sistema:

{[[alpha + beta = 0],[alpha + gamma = 0],[beta + gamma = 0]])

Cuja única solução é alpha = beta = gamma = 0 . Logo, o conjunto ( vec u + vec v , vec u + vec w , vec v + vec w ) é LI.

Passo 2

b) Para que ( vec u + vec v + vec w , vec u - vec v , 3 vec v ) seja LI, temos o sistema:

alpha (vec u + vec v + vec w) + beta (vec u - vec v) + gamma (3 vec v) = ( 0 , 0 , 0 )

Onde devemos ter alpha = beta = gamma = 0

alpha vec u + alpha vec v + alpha vec w + beta vec u - beta vec v + 3 gamma vec v = ( 0 , 0 , 0 )

Agrupando os termos:

vec u (alpha + beta) + vec v (alpha - beta + 3 gamma) + vec w (alpha) = ( 0 , 0 , 0 )

Como ( vec u , vec v , vec w ) é LI, temos o sistema:

{[[alpha + beta = 0],[alpha - beta + 3 gamma = 0],[alpha = 0]])

Cuja única solução é alpha = beta = gamma = 0 . Logo, o conjunto ( vec u + vec v + vec w , vec u - vec v , 3 vec v ) é LI.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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