Sejam u →   =   ( 1,1 , 0 ) e v →   =   ( 0,1 , 1 ) . Pede-se um vetor x sabendo que: x → - u →   é ortogonal a u →   , x → - v →   é ortogonal a v →   , | x | →   = 11   e x →   e u →   formam um ângulo agudo.

Passo 1

Então, galera, nessa questão precisamos seguir um roteiro para montarmos um sistema que resolva as incógnitas do vetor x →   =   ( a , b , c ) . Vamos lá

i) x → - u →   é ortogonal a v →   . Então, como já sabemos, se dois vetores são ortogonais entre si, vem que

( x → - u →   )   ⋅ u   →   =   0   ⇒   x → ⋅ u   →   -   u → ⋅ u   →   =   0

Substituindo os valores de u →   =   ( 1,1 , 0 ) , temos:

( a , b , c ) ⋅   ( 1,1 , 0 ) -   ( 1,1 , 0 ) ⋅   ( 1,1 , 0 ) =   0

⇒ a   .   1   +   b . 1   +   c . 0 - (   1.1   + 1   . 1   + 0 )   =   0

⇒ a   + b     =   2

⇒ a   =   2 -   b

ii) x → - v →   é ortogonal a v →   . Daí,

( x → - v →   )   ⋅ v   →   =   0   ⇒   x → ⋅ v   →   -   v → ⋅ v   →   =   0

Substituindo os valores de v →   =   ( 0,1 , 1 ) , temos:

( a , b , c ) ⋅ ( 0,1 , 1 ) -   ( 0,1 , 1 ) ⋅   ( 0,1 , 1 ) =   0

⇒ a   . 0   +   b . 1   +   c . 1 -   ( 0   + 1   . 1   + 1   . 1 )   =   0

⇒ b   +   c     =   2

⇒ c   = 2   -   b

iii) A norma de | x | →   = 11   , daí temos que

| x | →   = a 2 +   b 2   +   c 2   = 11   ⇒ a 2 +   b 2   +   c 2   = 11 .

iv) Como é dado que x → e u → formam um ângulo agudo, temos que x → ⋅ u     → > 0 . Então

x → ⋅ u     →   > 0   ⇒ ( a , b , c ) ⋅   ( 1,1 , 0 )   > 0   ⇒   a   +   b   > 0

Passo 2

Agora, a partir das condições montadas, vamos substituir o item i) e o item ii) em iii):

( 2 -   b ) 2 +   b 2   +   ( 2   -   b ) 2   = 11   ⇒ 2 ( 4   - 4 b +   b 2 )   +   b 2   - 11   =   0

⇒ 3   b 2   - 8 b   - 3   =   0

Resolveremos essa simples equação do segundo grau para descobrir as suas raízes:

b   =   - ( - 8 )   ±   64   - 4.3 . ( - 3 ) 2.3   =   8     ±   100   6   = 8     ±   10 6   ⇒ b   =   3   ou b   =   - 1 3 .

Sendo assim, temos duas soluções possíveis x →   =   ( - 1,3 , - 1 ) ou x →   =   ( 7 3 , - 1 3 , 7 3 ) , onde usamos a   =   2 -   b   =   c .

Resposta

x →   =   ( - 1,3 , - 1 ) ou x →   =   ( 7 3 , - 1 3 , 7 3 )

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