Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 9

Sejam e . Pede-se um vetor sabendo que: é ortogonal a , é ortogonal a , e e formam um ângulo agudo.

Passo 1

Então, galera, nessa questão precisamos seguir um roteiro para montarmos um sistema que resolva as incógnitas do vetor . Vamos lá

i) é ortogonal a . Então, como já sabemos, se dois vetores são ortogonais entre si, vem que

Substituindo os valores de , temos:

ii) é ortogonal a . Daí,

Substituindo os valores de , temos:

iii) A norma de , daí temos que

.

iv) Como é dado que e formam um ângulo agudo, temos que . Então

Passo 2

Agora, a partir das condições montadas, vamos substituir o item i) e o item ii) em iii):

Resolveremos essa simples equação do segundo grau para descobrir as suas raízes:

ou .

Sendo assim, temos duas soluções possíveis ou , onde usamos .

Resposta

ou

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Em cada caso, decomponha v → como soma de dois vetores p → e q → , de modo que p → seja paralelo e q → seja ortogonal a u → .a) v → = ( - 1 ,- 3 ,2 ) , u → = ( 0 ,1 ,3 ) .b) v → = ( 0 ,1 ,2 ) , u → =

Sejam u → ≠ 0 → e v → paralelo a u → . Prove que se w → é ortogonal a u → e x → = v → + w → , então p r o j u →x → = v → .

Calcule a projeção ortogonal de v → sobre u → em cada caso.a) v → = ( 1 ,- 1 ,2 ) , u → = ( 3 ,- 1 ,1 ) .b) v → = ( - 1 ,1 ,1 ) , u → = ( - 2 ,1 ,2 ) .c) v → = ( 1 ,3 ,5 ) , u → = ( - 3 ,1 ,0 ) .d) v

Seja B = i → ,j → ,k → a base ortonormal obtida da base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 pelo Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt. A matriz de mudança de E para B tem um aspecto muit especial. Descrev

Prove que:a) p r o j u →v → = v → se, e somente se, u → ,v → é LD;b) p r o j u →v → = u → se, e somente se, ( v → - u → ) ⊥ u → ;c) se A , B e C são pontos distintos e A C → = p r o j A C →A B → , ent