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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 16

Dados A B →   =   ( 1,0 , 1 ) e C B →   =   ( 0,1 , 2 ) ,

  1. mostre que o triângulo ABC é retângulo;
  2. determine a projeção de A B →   sobre B C →   ;
  3. ache o comprimento da altura relativa a hipotenusa.

Passo 1

  1. E aí, pessoal? Sabemos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de 90 ° . Também sabemos que quando dois vetores tem 90 ° entre si, ou seja, são ortogonais, seu produto interno é nulo. Então, iremos calcular o produto interno para os três ângulos do triângulo. Mas, antes disso, temos que obter o vetor que não foi fornecido na questão:

    2. A C → = A B → + B C → = A B → - C B → =   ( 1,0 , 1 ) -   ( 0,1 , 2 ) = ( 1 , - 1 , - 1 )

    Agora, vamos aos produtos internos:

    A B → ⋅ A C → =   ( 1,0 , 1 ) ⋅ ( 1 , - 1 , - 1 ) = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( - 1 ) + 1 ⋅ ( - 1 ) = 1 - 1 = 0

    Bingo! Já achamos de primeira. Muito gratificante quando isso acontece, não é mesmo? Então, podemos concluir que o triângulo é retângulo e o vértice A é o que tem o ângulo reto.

    Passo 2

  2. Para obter a projeção de A B →   sobre B C →   , vamos usar a seguinte fórmula:

    3. p r o j B C A B → = A B → ⋅ B C → | B C | → 2 B C → =   ( 1,0 , 1 ) ⋅ ( 0 , - 1 , - 2 ) ( 1 + 4 ) 2 ( 0 , - 1 , - 2 ) = - 2 5 ( 0 , - 1 , - 2 ) = 2 5 ( 0,1 , 2 )

    onde usamos B C → = - C B → = - ( 0,1 , 2 )

    Passo 3

  3. A hipotenusa é a aresta oposta ao vértice A, que é o vértice do ângulo reto. Então, C B → é o vetor da hipotenusa. Além disso, a altura é dada por uma reta que sai da hipotenusa e vai até o vértice A, como na figura abaixo:

Por semelhança de triângulos entre ABC e ACM, temos

h i p o t e n u s a c a t e t o   m e n o r = B C A B = A C h ⇒ h = A B B C A C = 2 5 3 = 6 5

Resposta

b) p r o j B C A B → = 2 5 ( 0,1 , 2 )

c) h = 6 5

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