Dados e
- mostre que o triângulo ABC é retângulo;
- determine a projeção de sobre
- ache o comprimento da altura relativa a hipotenusa.
Passo 1
- E aí, pessoal? Sabemos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de . Também sabemos que quando dois vetores tem entre si, ou seja, são ortogonais, seu produto interno é nulo. Então, iremos calcular o produto interno para os três ângulos do triângulo. Mas, antes disso, temos que obter o vetor que não foi fornecido na questão:
- Para obter a projeção de sobre , vamos usar a seguinte fórmula:
- A hipotenusa é a aresta oposta ao vértice A, que é o vértice do ângulo reto. Então, é o vetor da hipotenusa. Além disso, a altura é dada por uma reta que sai da hipotenusa e vai até o vértice A, como na figura abaixo:
Agora, vamos aos produtos internos:
Bingo! Já achamos de primeira. Muito gratificante quando isso acontece, não é mesmo? Então, podemos concluir que o triângulo é retângulo e o vértice A é o que tem o ângulo reto.
Passo 2
onde usamos
Passo 3
Por semelhança de triângulos entre ABC e ACM, temos
Resposta
b)
c)