Decomponha o vetor v →   =   ( 6,5 , 2 ) em uma soma de dois vetores x →   e y → tais que x →   seja paralelo a ( 1,2 , 1 )   e y → ortogonal a ( 1,2 , 1 )   . Calcule os ângulos do triângulo determinado pelos vetores x →   e y → .

Passo 1

Fala, pessoal. Tudo bem? A questão diz que x →   é paralelo a ( 1,2 , 1 )   . Nesse caso, temos que ter

x →   = ( m , 2 m , m )

porque x → deve ser proporcional a ( 1,2 , 1 ) . A condição de y → = ( a , b , c ) ser ortogonal a ( 1,2 , 1 )   tem como consequência

y → ⋅ ( 1,2 , 1 ) = 0 ⇒ a + 2 b + c = 0

Passo 2

Temos quatro incógnitas a , b , c , m e somente uma equação até agora. As outras 3 equações que são necessárias são dadas pela condição de que v →   =   ( 6,5 , 2 ) é a soma de x →   e y → :

v → = x → + y → = ( m , 2 m , m ) + ( a , b , c ) = ( m + a , 2 m + b , m + c ) =   ( 6,5 , 2 )

Então,

m + a = 6

2 m + b = 5

m + c = 2

Vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira e a terceira:

m + a + 2 ( 2 m + 6 ) + m + c = 6 + 10 + 2 ⇒ 6 m   + a + 2 b + c = 6 m = 18 ⇒ m = 3

onde usamos a + 2 b + c = 0 . Assim, x →   = ( 3,6 , 3 )

Passo 3

Agora que sabemos o valor de m, podemos substituir no sistema de equações do passo anterior e obter as demais incógnitas:

m + a = 6 ⇒ a = 6 - 3 = 3

2 m + b = 5 ⇒ b = 5 - 2 m = 5 - 6 = - 1

m + c = 2 ⇒ c = 2 - m = 2 - 3 = - 1

Logo, temos y → = ( 3 , - 1 , - 1 )

Resposta

x →   = ( 3,6 , 3 ) , y → = ( 3 , - 1 , - 1 ) .

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