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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 13

Decomponha o vetor v →   =   ( 6,5 , 2 ) em uma soma de dois vetores x →   e y → tais que x →   seja paralelo a ( 1,2 , 1 )   e y → ortogonal a ( 1,2 , 1 )   . Calcule os ângulos do triângulo determinado pelos vetores x →   e y → .

Passo 1

Fala, pessoal. Tudo bem? A questão diz que x →   é paralelo a ( 1,2 , 1 )   . Nesse caso, temos que ter

x →   = ( m , 2 m , m )

porque x → deve ser proporcional a ( 1,2 , 1 ) . A condição de y → = ( a , b , c ) ser ortogonal a ( 1,2 , 1 )   tem como consequência

y → ⋅ ( 1,2 , 1 ) = 0 ⇒ a + 2 b + c = 0

Passo 2

Temos quatro incógnitas a , b , c , m e somente uma equação até agora. As outras 3 equações que são necessárias são dadas pela condição de que v →   =   ( 6,5 , 2 ) é a soma de x →   e y → :

v → = x → + y → = ( m , 2 m , m ) + ( a , b , c ) = ( m + a , 2 m + b , m + c ) =   ( 6,5 , 2 )

Então,

m + a = 6

2 m + b = 5

m + c = 2

Vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira e a terceira:

m + a + 2 ( 2 m + 6 ) + m + c = 6 + 10 + 2 ⇒ 6 m   + a + 2 b + c = 6 m = 18 ⇒ m = 3

onde usamos a + 2 b + c = 0 . Assim, x →   = ( 3,6 , 3 )

Passo 3

Agora que sabemos o valor de m, podemos substituir no sistema de equações do passo anterior e obter as demais incógnitas:

m + a = 6 ⇒ a = 6 - 3 = 3

2 m + b = 5 ⇒ b = 5 - 2 m = 5 - 6 = - 1

m + c = 2 ⇒ c = 2 - m = 2 - 3 = - 1

Logo, temos y → = ( 3 , - 1 , - 1 )

Resposta

x →   = ( 3,6 , 3 ) , y → = ( 3 , - 1 , - 1 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A , B e C pontos não-colineares, u → = A B → , v → = A C → . Prove que, se a → e u → são de mesmo sentido e o mesmo ocorre com b → e v → , e se a → = b → , então a → + b → é paralelo à bissetriz
Em relação a uma base ortonormal, sabe-se que A B → = 2 ,3 ,1 e A C → = ( - 1 ,3 ,1 ) .a) Verifique que A , B e C são vértices de um triângulo.b) Calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A
Sendo e → 1 = ( 1 ,2 ,2 ) , e → 2 = ( 1 ,0 ,1 ) e e → 3 = ( 1 ,1 ,1 ) , aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal a partir da base e → 1 ,e → 2 ,e → 3 .
Na Figura 9-4 (c), a aresta do cubo mede 3 e P é um ponto sobre H F tal que a medida angular entre D P → e D H → é 30 ° . Calcule as normas de D P → e H P → e a medida em radianos do ângulo P D ^ C .
A Figura 9-5 (b), as arestas A B , A C e A D do tetraedro A B C D medem, respectivamente, 2 , 3 e 4 ; os ângulos B Â C Â , C Â D Â e D Â B Â mede, respectivamente, 90 ° , 60 ° e 60 ° ; M é ponto médio