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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 29

29. Use a redução por linhas para mostrar que

|[[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]| = (b - a) (c - a) (c - b)

Passo 1

Vamos escalonar a matriz:

- a vezes a primeira linha, somada na segunda:

|[[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]| = |[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[a^2,b^2,c^2]]|

- a^2 vezes a primeira linha, somada na terceira:

|[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[a^2,b^2,c^2]]| = |[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,b^2,-,a^2,c^2,-,a^2]]|

- (b + a) vezes a segunda linha, somada na terceira:

|[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,b^2,-,a^2,c^2,-,a^2]]| = |[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c^2 - a^2),-,(b + a),(c - a)]]|

Simplificando aquele termo que ficou bem grande vamos ter:

|[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c^2 - a^2),[- (b + a) (c - a)]]]| = |[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c^2 - a^2),-,(b c - a b + a c - a^2)]]|

|[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c^2 - a^2),-,(b c - a b + a c - a^2)]]| = |[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c^2 - b c + a b - a c)]]|

Ele pode ser reescrito como:

|[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c^2 - b c + a b - a c)]]| = |[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c - a),(c - b)]]|

O determinante de uma matriz triangular é igual a multiplicação dos termos de sua diagonal principal. Então:

|[[1,1,1],[0,b,-,a,c,-,a],[0,0,(c - a),(c - b)]]| = (b - a) (c - a) (c - b)

Que é exatamente o que o exercício pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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