39. Mostre que se A for uma matriz quadrada, então det(A^TA)=det(AA^T)

Passo 1

Se A é invertível, então, pelo teorema 1.4.9, A T também é invertível.

Pelo teorema 2.3.8 sabemos que se uma matriz é invertível então seu determinante é diferente de zero, ou seja:

det ⁡ A ≠ 0

e

det ⁡ A T ≠ 0

O teorema 2.3.4 nos diz que

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) ⋅ det ⁡ B

Então, podemos escrever com as nossas matrizes que:

det ⁡ ( A T A ) = det ⁡ A T ⋅ det ⁡ A

Pelo teorema 2.2.2 sabemos que

det ⁡ A T = det ⁡ A

Então podemos reescrever a equação como

det ⁡ ( A T A ) = det ⁡ A ⋅ det ⁡ A

det ⁡ ( A T A ) = det ⁡ A ⋅ det ⁡ ( A T )

E usando novamente o teorema 2.3.4 podemos reescrever isso como

det ⁡ A ⋅ det ⁡ A T = det ⁡ A A T

Ou seja,

det ⁡ ( A T A ) = det ⁡ A A T

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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