Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 3c
- Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.
c) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 em que a0, a1, a2 são inteiros.
Passo 1
Precisamos verificar as duas condições do Teorema.
O teorema diz que:
Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.
(a) Se e forem vetores em , então está em .
(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .
Passo 2
Vamos verificar a primeira condição, tomando dois polinômios quaisquer desse conjunto:
e
Quando somamos eles:
Podemos agrupar os termos semelhantes:
A soma de dois números inteiros nos resulta um numero inteiro, dessa forma:
Ou seja, a primeira condição é válida.
Passo 3
Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:
E um escalar qualquer:
Multiplicando os dois teremos:
Esse escalar pode ser qualquer número, se ele for um número irracional, como por exemplo o , a multiplicação dele pelos coeficientes, que são inteiros, não resultara em números inteiros e sim irracionais. Dessa forma:
Ou seja, a segunda condição não é válida. Dessa maneira concluímos que esses polinômios não são um subespaço vetorial de .
Resposta
Não é um subespaço vetorial de .