4 Quais dos seguintes são subespaços de F()?

  1. Todas as funções f em F tais que f(0)=1.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois polinômios quaisquer desse conjunto:

f x ,     f 0 = 1

e

g x ,     g 0 = 1

Quando somamos duas funções f e g em F - ∞ ,   ∞ a soma delas permanece em F - ∞ ,   ∞ .

Só precisamos verificar que a função aplicada em zero permanece sendo um

f 0 + g 0 = 1 + 1 = 2

E ela não permanece sendo igual a um, ou seja, a primeira condição não é válida.

Resposta

Não é um subespaço vetorial de F - ∞ ,   ∞ .

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