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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 3d

  1. Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.

d) Todos os polinômios a0+a1x em que a0 e a1 são números reais.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois polinômios quaisquer desse conjunto:

p a x = a 0 + a 1 x ,     a 0 ,   a 1 ∈ R

e

p b x = b 0 + b 1 x ,     b 0 ,   b 1 ∈ R

Quando somamos eles:

p a x + p b x = a 0 + a 1 x + b 0 + b 1 x

Podemos agrupar os termos semelhantes:

p a x + p b x = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x

Continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

p a x = a 0 + a 1 x

E um escalar qualquer: k ∈ R

Multiplicando os dois teremos:

k ⋅ p a x = k ⋅ a 0 + a 1 x

k ⋅ p a x = k a 0 + k a 1 x

Que continua sendo um polinomio na forma que queriamos, ou seja, a segunda condição também é válida. Dessa maneira concluímos que esses polinômios são um subespaço vetorial de P 3 .

Resposta

É um subespaço vetorial de P 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

c. O conjunto de todas as funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = 0 ou f 1 = 0 .
Encontre conjuntos geradores para os seguintes subespaços:a) { a , b , c ∈ R 3 | 3 a - 5 b + 2 c = 0 } b) { A ∈ M 22 | 3 a 11 = 2 a 12 } c) { p ∈ p 3 | p 2 = 0 } d) { p ∈ p 3 | p 2 = p - 1 }
Mostre que 2 , t + 1 , t 2 + 1 , … , t n + 1 , … e um conjunto de geradores para p = R [ t ] .
Mostre que o conjunto dos quocientes de polinômios chamado frações racionais, R t = p t q t p t , q t ∈ R t , q t ≠ 0 - É um espaço vetorial sobre R .
Seja X um conjunto não vazio. Mostre que para qualquer t 0 ∈ X fixado, o conjunto { f ∈ F ( X ; R ) | f t 0 = 0 } É um subespaço de F ( X ; R )