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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 11

Encontre conjuntos geradores para os seguintes subespaços:

a) { a , b , c ∈ R 3 | 3 a - 5 b + 2 c = 0 }

b) { A ∈ M 22 | 3 a 11 = 2 a 12 }

c) { p ∈ p 3 | p 2 = 0 }

d) { p ∈ p 3 | p 2 = p - 1 }

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para encontrar os conjuntos geradores para os seguintes subespaços:

a) { a , b , c ∈ R 3 | 3 a - 5 b + 2 c = 0 }

b) { A ∈ M 22 | 3 a 11 = 2 a 12 }

c) { p ∈ p 3 | p 2 = 0 }

d) { p ∈ p 3 | p 2 = p - 1 }

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) dado { a , b , c ∈ R 3 | 3 a - 5 b + 2 c = 0 }

Temos,

3 a - 5 b + 2 c = 0

c = 1 2 ( 5 b - 3 a )

Ficando,

a , b , c = a , b , 1 2 5 b - 3 a = a 1,0 , - 3 2 + b 0,1 , 5 2

v 1 = 1,0 ,   - 3 2           e       v 2 = 0,1 , 5 2

Na letra (b) para { A ∈ M 22 | 3 a 11 = 2 a 12 }

a 12 = 3 2 a 11

a 11 a 12 a 21 a 22 - a 11 3 2 a 11 a 21 a 22 - a 11 1 3 2 0 0 + a 21 0 0 1 0 + a 22 0 0 0 1 ,

Chegando em,

M 1 = 1 3 2 0 0 ,     M 2 = 0 0 1 0         e       M 3 = 0 0 0 1

Passo 3

Na letra ( c ) para { p ∈ p 3 | p 2 = 0 } temos,

p t = a t 3 + b t 2 + c t + d ,     p 2 = p ( - 1 )

Ficando,

a 2 3 + b 2 2 + c 2 + d = 0

d = - 8 a - 4 b - 2 c

Ficando,

p t = a t 3 - 8 + b t 2 - 4 + c ( t - 2 )

Com isso o polinômio fica,

t 3 - 8 ,     t 2 - 4       e     t - 2

E por fim na letra (d) para { p ∈ p 3 | p 2 = p - 1 } temos,

p t = a t 3 + b t 2 + c t + d , para

a 2 3 + b 2 2 + c 2 + d = a - 1 3 + b - 1 2 + c - 1 + d

Com 9 a + 3 b + 3 c = 0

Ficando,

p t = a t 3 + b t 2 + c t + d = a t 3 + b t 2 + - 3 a - b t + d =

a t 3 - 3 t + b t 2 - 1 + d ( 1 )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) v 1 = 1,0 ,   - 3 2           e       v 2 = 0,1 , 5 2

b) M 1 = 1 3 2 0 0 ,     M 2 = 0 0 1 0         e       M 3 = 0 0 0 1

c) t 3 - 8 ,     t 2 - 4       e     t - 2

d) a t 3 - 3 t + b t 2 - 1 + d ( 1 )

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