1. Quais dos seguintes são subespaços de R?.

d) Todas as sequencias v em R cujos componentes são nulos a partir de algum ponto.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:

u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n ,   0 ,   0 , …

e

v = v 1 ,   v 2 ,   … ,   v m - 1 ,   v m ,   0 ,   0 , …

Vamos assumir que n < m . Quando somamos eles:

u + v = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n ,   0 ,   0 , … + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v m - 1 ,   v m ,   0 ,   0 , …

u + v = u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   … ,   u n + v n ,   v n + 1 ,   … ,   v m - 1 ,   v n ,   0 ,   0 , …

Continuamos com uma sequência que a partir de um ponto fica com componentes nulos, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n ,   0 ,   0 , …

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k u = k ⋅ u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n - 1 ,   u n ,   0 ,   0 , …

k u = k u 1 ,   k u 2 ,   … ,   k u n - 1 ,   k u n ,   0 ,   0 , …

Continuamos com uma sequência que a partir de um ponto fica com componentes nulos, ou seja, a segunda condição também é válida.

Dessa maneira concluímos que essas sequências formam um subespaço vetorial de R ∞ .

Resposta

É um subespaço vetorial de R ∞ .

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