Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 5d
- Quais dos seguintes são subespaços de R?.
d) Todas as sequencias v em R cujos componentes são nulos a partir de algum ponto.
Passo 1
Precisamos verificar as duas condições do Teorema.
O teorema diz que:
Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.
(a) Se e forem vetores em , então está em .
(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .
Passo 2
Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:
e
Vamos assumir que . Quando somamos eles:
Continuamos com uma sequência que a partir de um ponto fica com componentes nulos, ou seja, a primeira condição é válida.
Passo 3
Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:
E um escalar qualquer:
Multiplicando os dois teremos:
Continuamos com uma sequência que a partir de um ponto fica com componentes nulos, ou seja, a segunda condição também é válida.
Dessa maneira concluímos que essas sequências formam um subespaço vetorial de .
Resposta
É um subespaço vetorial de .