Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 2f
2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.
- O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n com as quais Ax=0 só tem a solução trivial.
Passo 1
Precisamos verificar as duas condições do Teorema.
O teorema diz que:
Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.
(a) Se e forem vetores em , então está em .
(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .
Passo 2
De acordo com o teorema 2.3.8 sabemos que se só tem a solução trivial então:
Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes quaisquer desse conjunto:
Essa primeira matriz tem os termo da diagonal principal iguais a e o resto da matriz é toda preenchida com zeros:
E a segunda matriz tem os termos da diagonal principal iguais a e o resto da matriz preenchida com zeros:
Para descobrir o determinante dessas matrizes só precisamos multiplicar os valores da diagonal principal. Como nas duas não existem zeros na diagonal, o determinante é diferente de zero.
Porém quando somamos elas:
Obtemos uma matriz com todos os valores da diagonal principal iguais a zero. Multiplicando eles temos um determinante igual a 0. Dessa forma acabamos de ver que a primeira condição não é satisfeita, ou seja, essas matrizes não formam um subespaço.
Resposta
Não é um subespaço vetorial de .