Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 4c

Quais dos seguintes são subespaços de F()?

c) Todas as funções f em F tais que f(-x)=f(x).

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se e forem vetores em , então está em .

(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .

Passo 2

Esses tipo de funções:

São chamadas de funções pares e elas possuem algumas propriedades.

Quando somamos duas funções pares obtemos uma função par. E isso satisfaz a condição do Teorema, pois podemos pegar quaisquer duas funções pares e somarmos elas que obterememos uma outra função que continua sendo par.

Passo 3

Outra propriedade é a seguinte: quando multiplicamos duas funções pares também obtemos uma função par. E uma função constante é uma função par, ou seja

Se tomarmos uma função qualquer:

E um escalar qualquer:

E multiplicarmos as duas funções (que são pares) obteremos uma outra função, ou seja, a segunda condição também é válida. Dessa maneira concluímos que essas funções são um subespaços de .

Resposta

É um subespaço vetorial de .

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Mostre que V 1 , … , V k subconjunto de um espaço vetorial VeV 1 , V 2 - V 1 , … , V k - V 1 geram o mesmo subespaço de V .

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