Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 2c
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.
- O conjunto de todas as matrizes A de tamanho nxn tais de tr(A)=0.
Passo 1
Precisamos verificar as duas condições do Teorema.
O teorema diz que:
Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.
(a) Se e forem vetores em , então está em .
(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .
Passo 2
Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes quaisquer desse conjunto:
E
Quando somamos eles:
Vamos calcular o traço dessa matriz para ver se continua sendo igual a zero:
Podemos reescrever essa expressão dessa maneira:
E sabemos quanto essas expressão valem:
Continuamos com o traço da matriz igual a zero, ou seja, a primeira condição é válida.
Passo 3
Agora vamos verificar a segunda condição, tomando uma matriz qualquer:
E um escalar qualquer:
Multiplicando os dois teremos:
Vamos calcular o traço dessa matriz para ver se continuamos com um traço igual a zero:
Tirando o em evidência:
E sabemos quanto essas expressão vale:
Ou seja, a segunda condição também é válida.
Dessa maneira concluímos que o conjunto das matrizes com traço igual a zero formam um subespaço vetorial de .
Resposta
É um subespaço vetorial de .