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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 4b

b. {B in M_n n| A B != B A } .

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se o conjunto W = {B in M_n n| A B != B A } é um espaço vetorial, para isso vamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de M_n n (espaço das matrizes de ordem n n ). Para isso, precisamos saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) A , B in W , então A + B in W e (0’) se A in W e alpha in R , então alpha A in W .

Considere A , B in W e alpha in R tal que A B != B A e seja alpha = 0 , veja que (alpha A) B = 0 B = 0 e (alpha B) A = 0 A = 0 , desse modo, A B = B A o que contradiz a “lei de formação” do conjunto.

Resposta

O conjunto {B in M_n n| A B != B A } não é um espaço vetorial.

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b c d ,a d - b c ≠ 0 (conjunto de matrizes inversíveis)
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b b c ,a , b , c ∈ R (matrizes simétricas).
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a 1 a b ,a , b ∈ R
Expressar o vetor u = - 1 ,4 ,- 4 ,6 ∈ R 4 como combinação linear dos vetores v 1 = ( 3 ,- 3 ,1 ,0 ) , v 2 = ( 0 ,1 ,- 1 ,2 ) e v 3 = ( 1 ,- 1 ,0 ,0 ) .
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a a + b a - b b ,a , b ∈ R