b. {B in M_n n| A B != B A } .

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se o conjunto W = {B in M_n n| A B != B A } é um espaço vetorial, para isso vamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de M_n n (espaço das matrizes de ordem n n ). Para isso, precisamos saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) A , B in W , então A + B in W e (0’) se A in W e alpha in R , então alpha A in W .

Considere A , B in W e alpha in R tal que A B != B A e seja alpha = 0 , veja que (alpha A) B = 0 B = 0 e (alpha B) A = 0 A = 0 , desse modo, A B = B A o que contradiz a “lei de formação” do conjunto.

Resposta

O conjunto {B in M_n n| A B != B A } não é um espaço vetorial.

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