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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 22

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , - 3 x ,   4 x ; x ∈ R }

Passo 1

As duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço são:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Então, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ter essa cara aí:

s = ( x , - 3 x , 4 x )

Vamos pegar dois vetores quaisquer pra testar as propriedades!

u = a ,   - 3 a , 4 a

v = ( b , - 3 b , 4 b )

Passo 2

Olha aí a soma dos vetores:

u + v = a ,   - 3 a ,   4 a + ( b , - 3 b ,   4 b )

u + v = a + b ,   - 3 a + b ,   4 a + b

Bom, essa aí bateu direitinho na condição do enunciado! Vamos ver a próxima.

Passo 3

Pra multiplicar, vamos pegar um escalar qualquer α :

α s = α x , - 3 x ,   4 x

α s = ( α x ,   - 3 α x ,   4 α x )

As duas propriedades valeram bonitinho! Então esse subconjunto é sim um espaço vetorial.

Resposta

É um subespaço.

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Quais dos seguintes são combinações lineares de u = ( 0 ,- 2 ,2 ) e v = ( 1 ,3 ,- 1 ) ? ( 2 ,2 ,2 ) ( 3 ,1 ,5 ) 0 ,4 ,5 ( 0 ,0 ,0 )
Em cada parte, determine se os vetores dados geram R 3 . v 1 = 2 ,2 ,2 ,v 2 0 ,0 ,3 ,v 3 ( 0 ,1 ,1 ) . v 1 = 2 ,- 1 ,3 ,v 2 4 ,1 ,2 ,v 3 ( 8 ,- 1 ,8 ) v 1 = 3 ,1 ,4 ,v 2 2 ,- 3 ,5 ,v 3 5 ,- 2 ,9 ,v 4
Seja f = cos 2 ⁡ x e g = sin 2 ⁡ x . Quais dos seguintes estão no espaço gerado por f e g ? cos ⁡ 2 x 3 + x 2 1 sin ⁡ x 0
Sejam v 1 = 2 ,1 ,0 ,3 ,v 2 = 3 ,- 1 ,5 ,2ev 3 = ( - 1 ,0 ,2 ,1 ) . Em cada parte decida se o vetor está em g e r { v 1 ,v 2 ,v 3 } . ( 2 ,3 ,- 7 ,3 ) . ( 0 ,0 ,0 ,0 ) ( 1 ,1 ,1 ,1 ) ( - 4 ,6 ,- 13 ,4
Use o teorema 4.2 . 5 para mostrar que os vetores v 1 = 1,6 , 4 ,v 2 = 2,4 , - 1 ,v 3 = - 1,2 , 5 ,w 1 = 1 , - 2 , - 5ew 2 = 0,8 , 9 geram o mesmo subespaço de R 3 .