No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , - 3 x ,   4 x ; x ∈ R }

Passo 1

As duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço são:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Então, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ter essa cara aí:

s = ( x , - 3 x , 4 x )

Vamos pegar dois vetores quaisquer pra testar as propriedades!

u = a ,   - 3 a , 4 a

v = ( b , - 3 b , 4 b )

Passo 2

Olha aí a soma dos vetores:

u + v = a ,   - 3 a ,   4 a + ( b , - 3 b ,   4 b )

u + v = a + b ,   - 3 a + b ,   4 a + b

Bom, essa aí bateu direitinho na condição do enunciado! Vamos ver a próxima.

Passo 3

Pra multiplicar, vamos pegar um escalar qualquer α :

α s = α x , - 3 x ,   4 x

α s = ( α x ,   - 3 α x ,   4 α x )

As duas propriedades valeram bonitinho! Então esse subconjunto é sim um espaço vetorial.

Resposta

É um subespaço.

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