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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 12

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

S = { x , y ; y = x + 1 }

Passo 1

Seguinte, jovem, são duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Ou seja, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Passo 2

Como de costume, a gente pega dois vetores genéricos do subconjunto pra testar. Podemos pegar u = ( x , x + 1 ) e v = ( y ,   y + 1 ) . Beleza, vamos ver se a soma deles está no subconjunto.

u + v = x , x + 1 + y ,   y + 1

u + v = x + y ,   x + y + 2

Opa, esse não serve pra gente... No subconjunto, a segunda coordenada é a primeira somada com 1 , mas aqui tá somada com 2 ... Bom, se a soma não está no subconjunto, o subconjunto não é um subespaço vetorial!

Passo 3

Um contraexemplo pra gente ver: os vetores u = ( 1,2 ) e v = ( 2,3 ) estão no subconjunto, mas o vetor u + v = ( 3 ,   5 ) não está!

Resposta

Não é subespaço vetorial.

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Expresse os seguintes como combinações lineares de u = ( 2 ,1 ,4 ) , v = ( 1 ,- 1 ,3 ) e w = ( 3 ,2 ,5 ) ? ( - 9 ,- 7 ,- 15 ) ( 6 ,11 ,6 ) 0 ,0 ,0 ( 7 ,8 ,9 )
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