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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 11

Dados os vetores a →   =   ( 5 , - 1,0 ) , b →   =   ( 2,0 , 1 ) e c →   =   ( 0,1 , 3 ) , escreva o vetor x   → = ( 2 , - 1 , - 1 )   como combinação linear de a   → , b →   e c →   .

Passo 1

Pessoal, para escrever o vetor x   → = ( 2 , - 1 , - 1 )   como combinação linear de a   → , b →   e c →   nós vamos seguir aquele roteiro básico:

  1. Escrever

    2. x   → = α a   → + β   b →     + γ   c →   ;

  2. Substituir os valores dos vetores;
  3. Resolver um sistema de equações para encontrar α , β   , γ .

Passo 2

Ok, então substituindo a →   =   ( 5 , - 1,0 ) , b →   =   ( 2,0 , 1 ) , c →   =   ( 0,1 , 3 ) e x   → = ( 2 , - 1 , - 1 ) na equação do Passo 1 nos dá

( 2 , - 1 , - 1 ) = α ( 5 , - 1,0 ) + β ( 2,0 , 1 ) + γ ( 0,1 , 3 ) = ( 5 α + 2 β , - α + γ , β + 3 γ )

Cada entrada do vetor à esquerda deve ser igual a respectiva entrada do vetor a direita. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

5 α + 2 β = 2

- α + γ = - 1

β + 3 γ = - 1

Vamos multiplicar a segunda equação por 5 e a primeira por - 2 :

5 α + 2 β = 2

- 5 α + 5 γ = - 5

- 2 β - 6 γ = 2

Agora, somamos as três equações:

5 α + 2 β - 5 α + 5 γ - 2 β - 6 γ = 2 - 5 + 2 ⇒ - γ = - 1 ⇒ γ = 1

Pronto, já determinamos γ = 1 , então só precisamos substituir esse valor nas outras equações:

- α + γ = - 1 ⇒ α = γ + 1 = 1 + 1 = 2

β + 3 γ = - 1 ⇒ β = - 1 - 3 γ = - 1 - 3 = - 4

Agora que determinamos todos os parâmetros, sabemos que

x   → = 2 a   → - 4   b →     +   c →

Resposta

x   → = 2 a   → - 4   b →     +   c →

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