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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 14

O A →   =   ( 4 , - 3 , - 1 ) , O B →   =   ( - 5,3 , - 7 ) e O C →   =   ( 1 , y , z ) . Determine   y e   z sabendo que C pertence à reta AB.

Passo 1

Galera, o enunciado já deu uma informação muito importante: C pertence à reta AB. Mas o que isso quer dizer? Quer dizer que a reta A C → pode ser escrita como: A C → = α A B → , ou seja, a reta A C → é paralela a reta A B → .

Para conseguir utilizar essa equação, temos que reescrever esses vetores em termos de O A →   =   ( 4 , - 3 , - 1 ) , O B →   =   ( - 5,3 , - 7 ) e O C →   =   ( 1 , y , z ) . Preparados ou não, aí vamos nós!

A B →   =   A O → + O B → = - O A → + O B → = - ( 4 , - 3 , - 1 ) +   ( - 5,3 , - 7 ) = ( - 9,6 , - 6 )  

A C → = A O → + O C → = - O A → + O C → = -   ( 4 , - 3 , - 1 ) + ( 1 , y , z ) = ( - 3 , y + 3 , z + 1 )

Então, temos

A C → = α A B → ⇒ ( - 3 , y + 3 , z + 1 ) = α ( - 9,6 , - 6 )

Passo 2

Agora, ficamos com o seguinte sistema de equações:

- 9 α = - 3 ⇒ α = 1 3

y + 3 = 6 α = 6 ⋅ ( 1 3 ) = 2 ⇒ y = 2 - 3 = - 1

z + 1 = - 6 α = - 6 3 ⇒ z = - 2 - 1 = - 3

Resposta

y = - 1 e z = - 3

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