Seja o operador linear que transforma em e em , conforme figura.
a) Dar a lei do operador .
b) Determinar a transformação linear que transforma em e em .
Passo 1
O problema fornece uma transformação linear por meio de uma figura. Dela, conseguimos tirar que
Precisamos dar a lei do operador, isto é, escrever e no item (b) achar sua inversa.
Para isso, vamos escrever primeiro:
Mas como , temos que
Assim, como temos e , podemos construir a matriz canônica para a transformação:
Passo 2
Desta forma, podemos escrever uma expressão para a transformação fazendo o produto de matrizes:
Logo,
Passo 3
Note que
Logo, é invertível. Para achar sua inversa, vamos usar o truque que só vale para matrizes :
Assim,
Assim, a transformação inversa é dada por
Logo,