Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 1f
A seguir são dados operadores lineares em e em . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
Passo 1
A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.
Para construir a matriz de transformação, temos que
Assim,
Note que
Portanto, admite inversa e é invertível.
Passo 2
Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de . Para isso, vamos escalonar a matriz expandida.
Multiplicando a terceira linha por e somando com a segunda:
Somando a segunda linha com a terceira e substituindo na segunda:
Somando a primeira linha com a segunda e substituindo na primeira:
Por fim, multiplicamos a primeira linha por e somamos com a última:
Assim, a matriz inversa é
Passo 3
Assim, a transformação inversa é dada por
Portanto,