Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 14

Existe alguma matriz 3 × 3 simétrica com autovalores λ 1 = - 1 , λ 2 = 3 , λ 3 = 7 e autovalores associados

0 1 - 1 , 1 0 0 , 0 1 1 ?

Passo 1

E aí? Bora resolver mais essa?

Primeiro vamos escrever essa equação:

A = P D P - 1

Mas quem é P e que é D ?

P é uma matriz formada pelos autovetores normalizados, e D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores.

A matriz D jé só montar, porque já temos os autovaloes:

D = - 1 0 0 0 3 0 0 0 7

Passo 2

Bora normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 0 2 + 1 2 + - 1 2 ∙ 0 1 - 1

u 1 = 1 2 ∙ 0 1 - 1

u 1 = 0 1 2 - 1 2

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 1 2 + 0 2 + 0 2 ∙ 1 0 0

u 2 = 1 1 ∙ 1 0 0

u 2 = 1 ∙ 1 0 0

u 2 = 1 0 0

u 3 = v 3 v 3

u 3 = 1 0 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 0 1 1

u 3 = 1 2 ∙ 0 1 1

u 3 = 0 1 2 1 2

Passo 3

Agora vamos montar P :

P = 0 1 0 1 2 0 1 2 - 1 2 0 1 2

Precisamos saber se P é ortogonal, para isso:

P P T = I

P P T = 0 1 0 1 2 0 1 2 - 1 2 0 1 2 ∙ 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2

P P T = 1 0 0 0 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 0 0 - 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 - 1 2 ∙ - 1 2 + 1 2 ∙ 1 2

P P T = 1 0 0 0 1 2 + 1 2 0 0 - 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2

P P T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Como conseguimos obter a matriz identidade por P P T , temos que:

P T = P - 1

Passo 4

Bora determinar A ????

Lembra da expressãozinha do Passo 1?

A = P D P - 1

Podemos reescrever como:

A = P D P T

Agora vamos substitui:

A = 0 1 0 1 2 0 1 2 - 1 2 0 1 2 ∙ - 1 0 0 0 3 0 0 0 7 ∙ 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2

A = 0 3 0 - 1 2 0 7 2 1 2 0 7 2 ∙ 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2

A = 3 0 0 0 - 1 2 ∙ 1 2 + 7 2 ∙ 1 2 - 1 2 ∙ - 1 2 + 7 2 ∙ 1 2 0 1 2 ∙ 1 2 + 7 2 ∙ 1 2 1 2 ∙ - 1 2 + 7 2 ∙ 1 2

A = 3 0 0 0 - 1 2 + 7 2 1 2 + 7 2 0 1 2 + 7 2 - 1 2 + 7 2

A = 3 0 0 0 6 2 8 2 0 8 2 6 2

A = 3 0 0 0 3 4 0 4 3

Resposta

Existe uma matriz simétrica com esses auvalores e autovetores.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.
Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.
Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. - 2 0 1 - 6 - 2 0 19 5 - 4
Confirme por multiplicação que x é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente.A = 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 ; x = 1 1 1
Encontre os autovalores das matrizes no Exercício 3.