Enunciado

Existe alguma matriz 3 × 3 simétrica com autovalores λ 1 = - 1 , λ 2 = 3 , λ 3 = 7 e autovalores associados

0 1 - 1 , 1 0 0 , 0 1 1 ?

Passo 1

E aí? Bora resolver mais essa?

Primeiro vamos escrever essa equação:

A = P D P - 1

Mas quem é P e que é D ?

P é uma matriz formada pelos autovetores normalizados, e D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores.

A matriz D jé só montar, porque já temos os autovaloes:

D = - 1 0 0 0 3 0 0 0 7

Passo 2

Bora normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 0 2 + 1 2 + - 1 2 ∙ 0 1 - 1

u 1 = 1 2 ∙ 0 1 - 1

u 1 = 0 1 2 - 1 2

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 1 2 + 0 2 + 0 2 ∙ 1 0 0

u 2 = 1 1 ∙ 1 0 0

u 2 = 1 ∙ 1 0 0

u 2 = 1 0 0

u 3 = v 3 v 3

u 3 = 1 0 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 0 1 1

u 3 = 1 2 ∙ 0 1 1

u 3 = 0 1 2 1 2

Passo 3

Agora vamos montar P :

P = 0 1 0 1 2 0 1 2 - 1 2 0 1 2

Precisamos saber se P é ortogonal, para isso:

P P T = I

P P T = 0 1 0 1 2 0 1 2 - 1 2 0 1 2 ∙ 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2

P P T = 1 0 0 0 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 0 0 - 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 - 1 2 ∙ - 1 2 + 1 2 ∙ 1 2

P P T = 1 0 0 0 1 2 + 1 2 0 0 - 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2

P P T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Como conseguimos obter a matriz identidade por P P T , temos que:

P T = P - 1

Passo 4

Bora determinar A ????

Lembra da expressãozinha do Passo 1?

A = P D P - 1

Podemos reescrever como:

A = P D P T

Agora vamos substitui:

A = 0 1 0 1 2 0 1 2 - 1 2 0 1 2 ∙ - 1 0 0 0 3 0 0 0 7 ∙ 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2

A = 0 3 0 - 1 2 0 7 2 1 2 0 7 2 ∙ 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2

A = 3 0 0 0 - 1 2 ∙ 1 2 + 7 2 ∙ 1 2 - 1 2 ∙ - 1 2 + 7 2 ∙ 1 2 0 1 2 ∙ 1 2 + 7 2 ∙ 1 2 1 2 ∙ - 1 2 + 7 2 ∙ 1 2

A = 3 0 0 0 - 1 2 + 7 2 1 2 + 7 2 0 1 2 + 7 2 - 1 2 + 7 2

A = 3 0 0 0 6 2 8 2 0 8 2 6 2

A = 3 0 0 0 3 4 0 4 3

Resposta

Existe uma matriz simétrica com esses auvalores e autovetores.

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