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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 6

Verdadeiro ou falso?

  1. - A ' = - A '
  2. A + B ' = B ' + A '
  3. Se A B = 0 , então A = 0 ou B = 0
  4. k 1 A k 2 B = k 1 k 2 A B
  5. - A - B = - A B
  6. Se A e B são matrizes simétricas, então A B = B A .
  7. Se A ⋅ B = 0 , então B ⋅ A = 0 .
  8. Se podemos efetuar o produto A ⋅ A , então A é uma matriz quadrada.

Passo 1

  1. Temos pela propriedade que:

    2. k A ' = k A ' , onde k é qualquer escalar

    Assim:

    - A ' = - 1 ⋅ A ' = - 1 ⋅ A ' = - A '

    Então a proposição é verdadeira.

    Passo 2

  2. Temos pela propriedade que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas, assim a proposição abaixo é verdadeira.

    3. A + B ' = B ' + A '

    Passo 3

  3. É falsa, podemos tomar pelo exemplo:

    4. A = 1 0 0 0 e B = 0 0 1 0

    Multiplicando as matrizes temos:

    A ⋅ B = 1 0 0 0 ⋅ 0 0 1 0 = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0 0 0 0 = 0

    Passo 4

  4. Para verificar essa proposição vamos usar a propriedade da associatividade:

    5. k 1 k 2 A B = A k 1 k 2 B

    Agora usando a propriedade da comutatividade:

    k 1 k 2 A B = A k 1 k 2 B = k 2 A k 1 B = A k 1 k 2 B = A k 1 B k 2

    Assim, a proposição é verdadeira.

    Passo 5

  5. É falsa, podemos tomar pelo exemplo:

    6. A = 2 1 0 - 1 e B = 0 3 1 1

    - A = - 2 - 1 0 1

    - B = 0 - 3 - 1 - 1

    Multiplicando as matrizes temos:

    - A - B = - 2 - 1 0 1 ⋅ 0 - 3 - 1 - 1 = - 2 ⋅ 0 + - 1 ⋅ - 1 - 2 ⋅ - 3 + - 1 ⋅ - 1 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ - 1 0 ⋅ - 3 + 1 ⋅ - 1 = 1 7 - 1 - 1

    - A B = - 2 1 0 - 1 ⋅ 0 3 1 1 = - 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 0 ⋅ 0 + - 1 ⋅ 1 0 ⋅ 3 + - 1 ⋅ 1 = - 1 7 - 1 - 1 = - 1 - 7 1 1

    A proposição é falsa, pois:

    - A - B ≠ - A B → 1 7 - 1 - 1 ≠ - 1 - 7 1 1

    Passo 6

  6. É falsa, podemos tomar pelo exemplo:

    7. A = 2 0 0 1 e B = 2 1 1 0

    Multiplicando as matrizes temos:

    A ⋅ B = 2 0 0 1 ⋅ 2 1 1 0 = 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = 4 2 1 0

    B ⋅ A = 2 1 1 0 ⋅ 2 0 0 1 = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 = 4 1 2 0

    A proposição é falsa, pois:

    A ⋅ B ≠ B ⋅ A → 4 2 1 0 ≠ 4 1 2 0

    Passo 7

  7. É falsa, podemos tomar pelo exemplo:

    8. A = 1 0 0 0 e B = 0 0 1 0

    Multiplicando as matrizes temos:

    A ⋅ B = 1 0 0 0 ⋅ 0 0 1 0 = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0 0 0 0 = 0

    B ⋅ A = 0 0 1 0 ⋅ 1 0 0 0 = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0 0 1 0

    A proposição é falsa, pois:

    A ⋅ B = 0 ≠ B ⋅ A → 0 0 0 0 = 0 ≠ 0 0 1 0

    Passo 8

  8. Verdadeiro, pois o produto entre duas matrizes só é possível se o numero de linhas da segunda for igual ao número de colunas da primeira.

Em outras palavras, A m × n ⋅ A m × n só ocorre se m = n , e isso vai dar que A é uma matriz quadrada.

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Verdadeiro
  3. Falso
  4. Verdadeiro
  5. Falso
  6. Falso
  7. Falso
  8. Verdadeiro
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