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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 23h

Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:

1 3 - 1 6 - 1 2 - 1 3 1 6 - 1 2 1 3 2 6 0

Passo 1

A questão pede para dizermos se a matriz é ortogonal ou não. Para que ela seja ortogonal, sua inversa deve ser igual a sua transposta.

Invertendo a matriz, obtemos

A - 1 = 1 3 - 1 3 1 3 - 1 6 1 6 2 6 - 1 2 - 1 2 0

Passo 2

Para obter a transposta, basta trocar linha com coluna:

A t = 1 3 - 1 3 1 3 - 1 6 1 6 2 6 - 1 2 - 1 2 0

Assim, vemos que A t = A - 1 , logo a matriz é ortogonal!

Além disso,

det ⁡ A = 1 3 ⋅ 1 3 + 1 6 ⋅ 1 6 - 1 2 ⋅ - 1 2 = 1 3 + 1 6 + 1 2 = 1

Como det ⁡ A = 1 , essa matriz representa uma rotação!

Resposta

É ortogonal e representa uma rotação.

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Quais dos seguintes operadores são ortogonais?T : R^2 - R^2 , T (x , y) = (x + y , x - y)
Quais dos seguintes operadores são ortogonais?T : R^3 - R^3 , T (x , y , z) = (z , x , - y)