Quais dos seguintes operadores são ortogonais?

T : R^2 -> R^2 , T (x , y) = ((1)/(sqrt(2)) x - (1)/(sqrt(2)) y , (1)/(sqrt(2)) x + (1)/(sqrt(2)) y)

Passo 1

A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.

Usando a base canônica:

T (1 , 0) = ((1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2)))

T (0 , 1) = (- (1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2)))

Assim,

[T] = [[[(1)/(sqrt(2)),-,(1)/(sqrt(2))],[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]]]

Passo 2

Para inverter a matriz, vamos usar o macete das matrizes 2 xx 2 :

([[[a,b],[c,d]]])^(- 1) = (1)/(a d - b c) [[[d,-,b],[-,c,a]]]

Assim,

[T]^(- 1) = [[[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))],[-,(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]]]

Passo 3

Para achar a transposta, basta trocar linha com coluna:

[T]^t = [[[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))],[-,(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]]]

Vemos que [T]^(- 1) = [T]^t , de modo que T é ortogonal!

Resposta

Sim

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