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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 21c

Quais dos seguintes operadores são ortogonais?

T : R^2 -> R^2 , T (x , y) = (x + y , x - y)

Passo 1

A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.

Usando a base canônica:

T (1 , 0) = (1 , 1)

T (0 , 1) = (1 , - 1)

Assim,

[T] = [[[1,1],[1,-,1]]]

Passo 2

Note que

det ([T]) = - 1 - 1 = - 2

Assim,

det ([T]^(- 1)) = - (1)/(2)

Passo 3

Sabemos que o determinante da transposta é igual ao da matrzi, de modo que

det ([T]^t) = - 2 != det ([T]^(- 1))

Portanto,

[T]^(- 1) != [T]^t

Assim, T não é ortogonal.

Resposta

Não

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Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão em torno desse eixo.
Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A inversa de uma rotação no plano por um ângulo θ é a rotação do plano do ângulo - θ .
Seja T : V → V um operador linear invertível em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que existe um operador auto adjunto definido positivo P e um operador unitário (ortogonal) U ,
Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão n . Mostre que se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum Kn , então T n = 0 .
Seja T : V → V um operador linear normal em um espaço vetorial real de dimensão n . Mostre que existe uma base ortonormal C de V tal que T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,e mq u eD i = λ