Quais dos seguintes operadores são ortogonais?

T : R^2 -> R^2 , T (x , y) = (x + y , x - y)

Passo 1

A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.

Usando a base canônica:

T (1 , 0) = (1 , 1)

T (0 , 1) = (1 , - 1)

Assim,

[T] = [[[1,1],[1,-,1]]]

Passo 2

Note que

det ([T]) = - 1 - 1 = - 2

Assim,

det ([T]^(- 1)) = - (1)/(2)

Passo 3

Sabemos que o determinante da transposta é igual ao da matrzi, de modo que

det ([T]^t) = - 2 != det ([T]^(- 1))

Portanto,

[T]^(- 1) != [T]^t

Assim, T não é ortogonal.

Resposta

Não

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