Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 23c
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:
Passo 1
A questão pede para dizermos se a matriz é ortogonal ou não. Para que ela seja ortogonal, sua inversa deve ser igual a sua transposta.
Como se trata de uma matriz , podemos usar o seguinte truque para achar a inversa:
Assim,
Passo 2
Para obter a transposta, basta trocar linha com coluna:
Assim, vemos que , logo a matriz é ortogonal!
Além disso,
Como , essa matriz não representa uma rotação!
Resposta
É ortogonal, mas não representa uma rotação.
Exercícios de Livros Relacionados
Seja V um espaço vetorial complexo. Mostre que um operador T : V → V é normal se, e somente se, existe um polinômio p tt a lq u eT * = p ( t ) .
Seja V um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita. Seja w um subespaço de w . Mostre que a projeção ortogonal em w , P : V → V , P V = p r o j w V , é um operador auto adjunto.
Seja T : V → V um operador normal em um espaço vetorial complexo. Seja 𝕨 um subespaço de V . Mostre que(a) Se w é T-invariante, então w e também T * -invariante.(b) Se w é T-invariante, então w ⊥ tam
Mostre que um operador T é unitário (ortogonal) se, e somente se, T * existe e T * T = T T * = I .
Seja T : V → V um operador em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que as afirmações seguintes são equivalentes:a) O operador T é unitário (ortogonal).b) O operador T leva base ort