Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 24a
a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0? Justifique.
Passo 1
Para essa questão, podemos provar que A e/ou B não precisam ser matrizes nulas para que sua multiplicação seja igual a zero com base em um contraexemplo bastante simples:
Passo 2
Realizando a multiplicação:
Resposta
É possível provar que existem matrizes A e B não nulas tal que AB = 0.
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Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n =I n A = A para qualquer A, nxn.
Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente.b) Mostre que a i-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i-ésima linha de A, ou seja, se A =A 1 A 2 ⋮ A m
Seja A uma matriz mxn e X =x 1 ⋮ x n uma matriz nx1. Prove que AX = ∑ j = 1 n x j A j , em que A j é a j-ésima coluna de A.
Considere as seguintes matrizes:A = - 3 2 1 1 2 - 1 , B = 2 - 1 2 0 0 3 , C = - 2 1 - 1 0 1 1 - 1 0 1 , D = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 E 1 = 1 0 0 , E 2 = 0 1 0 , E 3 = 0 0 1 Verifique que:f) Escrevendo
Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente. Mostre que a j-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A B j , em que B j = b 1 j ⋮ b p j é a j-ésima coluna de B, ou seja, se B =B 1 … B n , ent