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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 20

Encontre números que, colocados no lugar dos sinais × , tornem A anti-hermitiana.

A = 0 0 3 - 5 i × 0 - i × × 0

Passo 1

Vamos substituir os nossos símbolos de × por um número complexo genérico x + i y , então, vamos obter a seguinte matriz

0 0 3 - 5 i x 1 + i y 1 0 - i x 2 + i y 2 x 3 + i y 3 0

Teremos que nossa matriz A será anti-hermitiana se A * = - A , onde A * = A - T . Sendo assim, vamos primeiramente encontrar A - que será

A - = 0 0 3 + 5 i x 1 - i y 1 0 i x 2 - i y 2 x 3 - i y 3 0

Agora, achando A - T teremos

A - T = 0 x 1 - i y 1 x 2 - i y 2 0 0 x 3 - i y 3 3 + 5 i i 0

Passo 2

Pois bem, para que seja anti-hermitiana teremos que ter A * = - A   então

0 x 1 - i y 1 x 2 - i y 2 0 0 x 3 - i y 3 3 + 5 i i 0 = - 0 0 3 - 5 i x 1 + i y 1 0 - i x 2 + i y 2 x 3 + i y 3 0

Igualando todos os coeficientes vamos obter

x 1 - i y 1 = 0 → x 1 = 0   e   y 1 = 0

x 2 - i y 2 = - 3 + 5 i → x 2 = - 3   e   y 2 = - 5

x 3 - i y 3 = - i → x 3 = 0 , y 3 = i

Portanto, nossa matriz fica sendo

0 0 3 - 5 i 0 0 i - 3 - 5 i i 0

Resposta

0 0 3 - 5 i 0 0 i - 3 - 5 i i 0

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