Mostre que A é unitária e encontre A^(- 1) .

A = [[[[[((- 1 + i))/(sqrt(3))]],((1 - i))/(sqrt(6))],[((1))/(sqrt(3)),((2))/(sqrt(6))]]]

Passo 1

A partir da matriz dada temos os seguintes vetores de linha

r_1 = [[[((- 1 + i))/(sqrt(3)),((1 - i))/(sqrt(6))]]]

r_2 = [[[(1)/(sqrt(3)),(2)/(sqrt(6))]]]

Vamos mostrar que esses vetores são ortonormais. Primeiramente encontremos ||r_1|| e ||r_2|| fazendo

||r_1|| = sqrt(|((- 1 + i))/(sqrt(3))|^2 + |((1 - i))/(sqrt(6))|^2) = sqrt((2)/(3) + (2)/(6)) = 1

||r_2|| = sqrt(|(1)/(sqrt(3))|^2 + |(2)/(sqrt(6))|^2) = 1

Calculemos agora r_1 * r_2 e obteremos

r_1 * r_2 = ((- 1 + i)/(sqrt(3))) * overset(-)((1)/(sqrt(3))) + (((1 - i))/(sqrt(6))) * overset(-)((2)/(sqrt(6)))

r_1 * r_2 = ((- 1 + i)/(sqrt(3))) * ((1)/(sqrt(3))) + (((1 - i))/(sqrt(6))) * ((2)/(sqrt(6))) = 0

Passo 2

A partir das demonstrações acima podemos nos certificar que A é unitário, então, A^(- 1) = A^* , onde pela definição 1 nós temos que A^* = overset(-)(A)^T . Sendo assim, vamos ter

overset(-)(A) = [[[[[((- 1 - i))/(sqrt(3))]],((1 + i))/(sqrt(6))],[((1))/(sqrt(3)),((2))/(sqrt(6))]]] -> overset(-)(A)^T = [[[[[((- 1 - i))/(sqrt(3))]],(1)/(sqrt(3))],[((1 + i))/(sqrt(6)),((2))/(sqrt(6))]]] = A^(- 1)

Resposta

A^(- 1) = [[[[[((- 1 - i))/(sqrt(3))]],(1)/(sqrt(3))],[((1 + i))/(sqrt(6)),((2))/(sqrt(6))]]]

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