Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 12

Mostre que A é unitária e encontre A^(- 1) .

A = [[[[[((- 1 + i))/(sqrt(3))]],((1 - i))/(sqrt(6))],[((1))/(sqrt(3)),((2))/(sqrt(6))]]]

Passo 1

A partir da matriz dada temos os seguintes vetores de linha

r_1 = [[[((- 1 + i))/(sqrt(3)),((1 - i))/(sqrt(6))]]]

r_2 = [[[(1)/(sqrt(3)),(2)/(sqrt(6))]]]

Vamos mostrar que esses vetores são ortonormais. Primeiramente encontremos ||r_1|| e ||r_2|| fazendo

||r_1|| = sqrt(|((- 1 + i))/(sqrt(3))|^2 + |((1 - i))/(sqrt(6))|^2) = sqrt((2)/(3) + (2)/(6)) = 1

||r_2|| = sqrt(|(1)/(sqrt(3))|^2 + |(2)/(sqrt(6))|^2) = 1

Calculemos agora r_1 * r_2 e obteremos

r_1 * r_2 = ((- 1 + i)/(sqrt(3))) * overset(-)((1)/(sqrt(3))) + (((1 - i))/(sqrt(6))) * overset(-)((2)/(sqrt(6)))

r_1 * r_2 = ((- 1 + i)/(sqrt(3))) * ((1)/(sqrt(3))) + (((1 - i))/(sqrt(6))) * ((2)/(sqrt(6))) = 0

Passo 2

A partir das demonstrações acima podemos nos certificar que A é unitário, então, A^(- 1) = A^* , onde pela definição 1 nós temos que A^* = overset(-)(A)^T . Sendo assim, vamos ter

overset(-)(A) = [[[[[((- 1 - i))/(sqrt(3))]],((1 + i))/(sqrt(6))],[((1))/(sqrt(3)),((2))/(sqrt(6))]]] -> overset(-)(A)^T = [[[[[((- 1 - i))/(sqrt(3))]],(1)/(sqrt(3))],[((1 + i))/(sqrt(6)),((2))/(sqrt(6))]]] = A^(- 1)

Resposta

A^(- 1) = [[[[[((- 1 - i))/(sqrt(3))]],(1)/(sqrt(3))],[((1 + i))/(sqrt(6)),((2))/(sqrt(6))]]]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada caso, mostre que A não é hermitiana para qualquer escolha dos sinais × . a 1 1 + i × 1 + i 7 × 6 - 2 i × 0 b 1 × 3 + 5 i × 3 1 - i 3 - 5 i × 2 + i
Em cada caso, mostre que A não é hermitiana para qualquer escolha dos sinais × . a 1 i 2 - 3 i - i - 3 × 2 - 3 i × × b × × 3 + 5 i 0 i - i 3 - 5 i i ×
Seja f : R 3 → R um funcional linear.a) Mostre que existem escalares a , b , c tais que f x , y , z = a x + b y + c z .b) Descreva geometricamente todas as possibilidades para o núcleo de f .
Determine o núcleo e a imagem do operador linear definido no, R θ x , R θ y , R θ z :R 3 →R 3
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Seja T : V → w uma transformação linear. Mostre que T e injetiva se, e somente se, dim ⁡ L T = dim ⁡ ( V ) .