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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 19

Encontre números que, colocados no lugar dos sinais × , tornem A anti-hermitiana.

A = 0 i 2 - 3 i × 0 1 × × 4 i

Passo 1

Vamos substituir os nossos símbolos de × por um número complexo genérico x + i y , então, vamos obter a seguinte matriz

0 i 2 - 3 i x 1 + i y 1 0 1 x 2 + i y 2 x 3 + i y 3 4 i

Teremos que nossa matriz A será anti-hermitiana se A * = - A , onde A * = A - T . Sendo assim, vamos primeiramente encontrar A - que será

A - = 0 - i 2 + 3 i x 1 - i y 1 0 1 x 2 - i y 2 x 3 - i y 3 - 4 i

Agora, achando A - T teremos

A - T = 0 x 1 - i y 1 x 2 - i y 2 - i 0 x 3 - i y 3 2 + 3 i 1 - 4 i

Passo 2

Pois bem, para que seja anti-hermitiana teremos que ter A * = - A   então

0 x 1 - i y 1 x 2 - i y 2 - i 0 x 3 - i y 3 2 + 3 i 1 - 4 i = - 0 i 2 - 3 i x 1 + i y 1 0 1 x 2 + i y 2 x 3 + i y 3 4 i

Igualando todos os coeficientes vamos obter

x 1 - i y 1 = - i → x 1 = 0   e   y 1 = 1

x 2 - i y 2 = - 2 + 3 i → x 2 = - 2   e   y 2 = - 3

x 3 - i y 3 = - 1 → x 3 = - 1 , y 3 = 0

Portanto, nossa matriz fica sendo

0 i 2 - 3 i i 0 1 - 2 - 3 i - 1 4 i

Resposta

0 i 2 - 3 i i 0 1 - 2 - 3 i - 1 4 i

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Mostre que A não é anti-hermitiana, qualquer que seja a escolha dos sinais × . aA = i × 2 - 3 i × 0 1 + i 2 + 3 i - 1 - i × bA = 0 - i 4 + 7 i × 0 × - 4 - 7 i × 1