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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 4

Verifique se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

a )   t , cos ⁡ t , sin ⁡ t   e m   C 2 - π , π ;

b ) cos ⁡ t ,   1 , sin 2 ⁡ t 2   e m   C 2 - π , π ;

c )   1 ,   e t + e - t ,   e t - e - t     e m   C 2 - 1,1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele deseja verificar se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

a )   t , cos ⁡ t , sin ⁡ t   e m   C 2 - π , π ;

b ) cos ⁡ t ,   1 , sin 2 ⁡ t 2   e m   C 2 - π , π ;

c )   1 ,   e t + e - t ,   e t - e - t     e m   C 2 - 1,1 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para

t , cos ⁡ t , sin ⁡ t   e m   C 2 - π , π

Temos,

W F 1 , F 2 , F 3 = det ⁡ t cos ⁡ t sin ⁡ t 1 - sin ⁡ t cos ⁡ t 0 - cos ⁡ t - sin ⁡ t

W F 1 , F 2 , F 3 π = det ⁡ π - 1 0 1 0 - 1 0 1 0 = π ≠ 0

Para todo t ∈ - π , π , sendo a função uma L.I

Na letra (b), para

cos ⁡ t , 1 , sin 2 ⁡ t 2   e m   C 2 [ - π , π ]

Ficando,

W F 1 , F 2 , F 3 = det ⁡ cos ⁡ t 1 sin 2 ⁡ t 2 - sin ⁡ t 0 1 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t 0 1 2 cos ⁡ t = - det ⁡ - sin ⁡ t 1 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t 1 2 cos ⁡ t   = 0

t ∈ [ - π , π ]

cos ⁡ t = cos ⁡ 2 t 2 = cos 2 ⁡ t 2 - sin 2 ⁡ t 2 = 1 - 2 sin 2 ⁡ t 2  

Sendo a função uma L.D

Passo 3

Na letra ( c ) para,

1 ,   e t + e - t ,   e t - e - t     e m   C 2 - 1,1

W F 1 , F 2 , F 3 = det ⁡ 1 e t + e - t e t - e - t 0 e t - e - t e t + e - t 0 e t + e - t e t - e - t = det ⁡ e t - e - t e t + e - t e t + e - t e t - e - t = - 4  

Sendo a função uma L.I

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) Linearmente independente (L.I).

b) Linearmente dependente (L.D).

c) Linearmente independente (L.I).

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que as funções f 1 t = e λ 1 t ,f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde λ 1 , … , λ k ∈ R , são linearmente independentes se, e somente se, λ i ≠ λ j , para i ≠ jei , j = 1 , … , k .
Mostre que as funções f 1 t = t e λ 1 t ,f 2 t = t 2 e λ t , … , f k t = t k e λ k t , onde λ ∈ R , são linearmente independentes.
Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1+ … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .
Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t 2 - 2 t + 3,2 t 2 + t + 8 , t 2 + 8 t + 7 ; b )t 2 - 1 , t + 1 , t + 2 .