Verifique se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

a )   t , cos ⁡ t , sin ⁡ t   e m   C 2 - π , π ;

b ) cos ⁡ t ,   1 , sin 2 ⁡ t 2   e m   C 2 - π , π ;

c )   1 ,   e t + e - t ,   e t - e - t     e m   C 2 - 1,1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele deseja verificar se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

a )   t , cos ⁡ t , sin ⁡ t   e m   C 2 - π , π ;

b ) cos ⁡ t ,   1 , sin 2 ⁡ t 2   e m   C 2 - π , π ;

c )   1 ,   e t + e - t ,   e t - e - t     e m   C 2 - 1,1 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para

t , cos ⁡ t , sin ⁡ t   e m   C 2 - π , π

Temos,

W F 1 , F 2 , F 3 = det ⁡ t cos ⁡ t sin ⁡ t 1 - sin ⁡ t cos ⁡ t 0 - cos ⁡ t - sin ⁡ t

W F 1 , F 2 , F 3 π = det ⁡ π - 1 0 1 0 - 1 0 1 0 = π ≠ 0

Para todo t ∈ - π , π , sendo a função uma L.I

Na letra (b), para

cos ⁡ t , 1 , sin 2 ⁡ t 2   e m   C 2 [ - π , π ]

Ficando,

W F 1 , F 2 , F 3 = det ⁡ cos ⁡ t 1 sin 2 ⁡ t 2 - sin ⁡ t 0 1 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t 0 1 2 cos ⁡ t = - det ⁡ - sin ⁡ t 1 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t 1 2 cos ⁡ t   = 0

t ∈ [ - π , π ]

cos ⁡ t = cos ⁡ 2 t 2 = cos 2 ⁡ t 2 - sin 2 ⁡ t 2 = 1 - 2 sin 2 ⁡ t 2  

Sendo a função uma L.D

Passo 3

Na letra ( c ) para,

1 ,   e t + e - t ,   e t - e - t     e m   C 2 - 1,1

W F 1 , F 2 , F 3 = det ⁡ 1 e t + e - t e t - e - t 0 e t - e - t e t + e - t 0 e t + e - t e t - e - t = det ⁡ e t - e - t e t + e - t e t + e - t e t - e - t = - 4  

Sendo a função uma L.I

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) Linearmente independente (L.I).

b) Linearmente dependente (L.D).

c) Linearmente independente (L.I).

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