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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 7

Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1   + … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1   + … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

k = 0,1 , … , n , para,

p k t = t k + t k + 1   + … + t n para mostrar que

{ p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .

Ficando,

x 1 p 1 t + … + x n p n t = x 0 1 + t + t 2 + … + t n + x 1 t + t 2 + … + t n +

x 2 t 2 + t 3 + … + t n + … + x n t n = x 0 1 + x 0 + x 1 t + x 0 + x 1 + x 2 t 2 + … +

x 0 + x 1 + … + x n t n = 0 - ( t )

Assim o sistema e a equação vetorial inicial têm somente a solução trivial, sendo os polinômios uma L.I

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

Os polinômios são uma L.I

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