Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 14a
Verifique para quais pontos da reta a área do triângulo é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.
a)
Passo 1
Um ponto genérico da reta é dado por
Sabendo que e , a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, ou seja:
Substituindo os vetores que temos:
Calculando o módulo do vetor:
Passo 2
Sabendo que a área do triângulo é dada por
Temos que encontrar os valores de que fazem essa expressão ser a menor possível, para aí encontrarmos o tal que a área seja a menor.
Para encontrarmos o que faz essa função ser mínima, como (a parábola tem concavidade para cima), temos que encontrar o vértice de , dado por
Ou seja, o que faz nossa função de área do triângulo ter o menor valor, é , que quando substituído na expressão nos dá:
Substituindo no ponto genérico , temos: