Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 14c

Verifique para quais pontos da reta a área do triângulo é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

c)

Passo 1

Um ponto genérico da reta é dado por

Sabendo que e , a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, ou seja:

Substituindo os vetores que temos:

Calculando o módulo do vetor:

Passo 2

Sabendo que a área do triângulo é dada por

Temos que encontrar os valores de que fazem essa expressão ser a menor possível, para aí encontrarmos o tal que a área seja a menor.

Mas veja só, a nossa área tem a expressão de uma reta , então não é possível acharmos o seu ponto mínimo.

O que isso quer dizer??

As retas e são concorrentes em , e aí quanto mais perto chega de (existem infinitos pontos para isso), menor é a nossa área.

Resposta

Não existe , pois e são concorrentes.

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A diagonal B D de um quadrado está contida em r : x - 1 = y - z = 0 . Sendo O um dos vértices, determine os outros três.

Obtenha uma equação vetorial da reta r que dista 1 do ponto P = ( 1 ,2 ,1 ) , é concorrente com s : X = - 1 ,1 ,1 + λ ( 0 ,- 1 ,2 ) e paralela a t : 2 x - z - 1 = y = 2 .

Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E ³ ³ que equidistam de r : x = y = z ,s : x - z = y = 0 e A = 1 ,0 ,1 é a reunião de duas retas paralelas, e obtenha equações dessas retas.

Deduza a fórmula abaixo: d P , r = A P → ∧ r → r → (a) raciocinando assim: se v → = proj r → ⁡ A P → , então A P → - v → = d P , r (recorde a condição (b) da Definição 9-12);(b) aplicando o Teorema de

Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x + y - 1 = z = 0 e s : x + z - 1 = y = 0 é a reunião de dois planos transversais, e obtenha equações desses planos.