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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 13b

Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :

b) r : x = y = z                                   s : X = 1 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   1 ,   0                         t : X = 0 ,   0 ,   1 + λ ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Passo 1

Vamos começar encontrando a distância entre r e s .

Um ponto genérico de r é P = t ,   t ,   t , pois:

x ,   y ,   z = x ,   x ,   x = t ,   t ,   t

Um ponto genérico de s é A = ( 1 + λ ,   λ ,   0 ) .

Se escolhermos λ = 0 , temos A = 1 ,   0 ,   0 ok?

Além disso, um vetor diretor de s é s → = ( 1 ,   1 ,   0 )

Passo 2

A distância o ponto P de r até s é dada por

d P ,   s = A P → ∧ s → s →

Como A P → = t ,   t ,   t - 1 ,   0 ,   0 = t - 1 ,   t ,   t e s → = ( 1 ,   1 ,   0 ) , temos:

d P ,   s = t - 1 ,   t ,   t ∧ ( 1 ,   1 ,   0 ) ( 1 ,   1 ,   0 )

d P ,   s = - t ,   t ,   - 1 ( 1 ,   1 ,   0 )

Calculando os módulos:

d P ,   s = 2 t 2 + 1 2

Belezinha, agora vamos calcular a distância de P até t e igualar as duas distâncias :D

Passo 3

Um ponto genérico de t é B = ( λ ,   0 ,   1 - λ ) , se escolhermos λ = 0 , temos B = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Além disso, um vetor diretor de t é t → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) .

A distância de P = ( t ,   t ,   t ) até t será dada por

d P ,   t = B P → ∧ t → t →

Sabendo que B P → = t ,   t ,   t - 1 :

d P ,   t = t ,   t ,   t - 1 ∧ ( 1 ,   0 ,   - 1 ) 1 ,   0 ,   - 1

d P ,   t = ( - t ,   2 t - 1 ,   - t ) 1 ,   0 ,   - 1

Calculando os módulos:

d P ,   t = 6 t 2 - 4 t + 1 2

Passo 4

Como queremos que a distância de r até s seja igual a distância de r até t , vamos igualar d ( P ,   s ) e d ( P ,   t ) :

2 t 2 + 1 2 = 6 t 2 - 4 t + 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado e cortando os denominadores, que são iguais:

2 t 2 + 1 = 6 t 2 - 4 t + 1

4 t 2 - 4 t = 0

t 2 - t = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos

t ' = 0

t ' ' = 1

Substituindo esses valores no ponto genérico P = t ,   t ,   t , temos

P ' = 0 ,   0 ,   0

P ' ' = ( 1 ,   1 ,   1 )

Resposta

P ' = 0 ,   0 ,   0

P ' ' = ( 1 ,   1 ,   1 )

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Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x - 1 = y + z = 3 , s = 3 x + y + z = x - y - z = 0 e t : x - y = x + z = 1 + z .
Calcular:A distância do ponto P ( 1,2 , 3 ) a cada um dos eixos coordenados.
Calcular:A distancia do ponto P 1,2 , 3 , à reta: r :x = 1 - 2 t y = 2 t z = 2 - t
Dados o ponto A = 3,4 , - 2 e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Determinar o ponto simétrico de em relação à r .
Dados o ponto A = ( 3,4 , - 2 ) e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Calcular a distância de A a r .