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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 10b

Calcule a distância do ponto P à reta r .

b) P = (1 , 0 , 1) , r : x = 2 y = 3 z

Passo 1

b) Da reta r , temos

x = 2 y

E

z = (2 y)/(3)

Então, a reta tem o formato

(x , y , z) = (2 y , y , (2 y)/(3))

Trocando y por um parâmetro t , temos que um ponto genérico dessa reta é

A = (2 t , t , (2 t)/(3))

Dando o valor t = 1 , temos um ponto arbitrário

A = (2 , 1 , (2)/(3))

Além disso, o vetor diretor vec r da reta r é dado pelos coeficientes de t , ou seja, os números que multiplicam ele:

vec r = (2 , 1 , (2)/(3))

Passo 2

A fórmula de distância entre ponto e reta é

d (P , r) = (||vec A P ^^ vec r||)/(||vec r||)

Sabendo que vec A P = P - A = (1 , 0 , 1) - (2 , 1 , (2)/(3)) = (- 1 , - 1 , (1)/(3)) , e lembrando que vec r = (2 , 1 , (2)/(3)) , então:

d (P , r) = (||(- 1 , - 1 , (1)/(3)) ^^ (2 , 1 , (2)/(3))||)/(||(2 , 1 , (2)/(3))||)

d (P , r) = (||(- 1 , (4)/(3) , 1)||)/(||(2 , 1 , (2)/(3))||)

Calculando os módulos:

d (P , r) = (sqrt(1 + (16)/(9) + 1))/(sqrt(4 + 1 + (4)/(9))) = (sqrt((34)/(9)))/(sqrt((49)/(9))) = ((sqrt(34))/(3))/((7)/(3)) = (sqrt(34))/(7)

Resposta

b) d (P , r) = (sqrt(34))/(7)

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Calcule a distância do ponto P à reta r .a) P = (0 , - 1 , 0) , r : x = 2 y - 3 = 2 z - 1
Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.d) A = 3 ,2 ,1B = 0 ,1 ,2r : x = 2 y - z = y - 2 z + 3
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :a) r : x - 1 = 2 y = zs : x = y = 0 t : x - 2 = z = 0
Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.b) A = 1 ,0 ,3B = 2 ,1 ,2r : 2 x - y + z = 0 = x + z - 1
Obtenha uma equação vetorial da reta r contida no plano π : y = z , sabendo que a medida angular entre r e s : X = 1 ,1 ,2 + λ ( 1 ,- 1 ,0 ) é 60 ° e que r dista 1 do ponto P = ( 1 ,0 ,0 ) .