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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 2

Obtenha os pontos da reta r : 2 y + z = x + y = 2 que distam 3 do ponto A = ( 0 , 2 , 1 ) .

Passo 1

Vamos começar escrevendo a reta r de uma forma visualmente mais bonitinha, pra aí conseguirmos arrancar um ponto genérico dela hehe da sua equação temos:

x + y = 2

x = 2 - y

Mas também temos que

2 y + z = x + y

Substituindo x = 2 - y :

2 y + z = 2 - y + y

2 y + z = 2

z = 2 - 2 y

Beleza, temos x e z em função de y . Podemos dizer que nossa equação da reta tem o formato

(x , y , z) = ( 2 - y , y , 2 - 2 y )

(x , y , z) = (2 , 0 , 2) + ( - y , y , - 2 y )

Transformando y em um parâmetro t e colocando ele em evidência, encontramos que a reta r tem a seguinte equação vetorial:

(x , y , z) = (2 , 0 , 2) + t . ( - 1 , 1 , - 2 )

Então, um ponto genérico de r é P = (2 - t , t , 2 - 2 t) .

Passo 2

Queremos os pontos P = ( 2 - t , t , 2 - 2 t ) de r que tenham a distância 3 até o ponto A = ( 0 , 2 , 1 ) , ou seja:

d (P , A) = 3

Usando a fórmula de distância entre pontos:

d (P , A) = sqrt((2 - t - 0)^2 + (t - 2)^2 + (2 - 2 t - 1)^2) = 3

sqrt((2 - t)^2 + (t - 2)^2 + (1 - 2 t)^2) = 3

Desenvolvendo os produtos notáveis:

sqrt(4 - 4 t + t^2 + t^2 - 4 t + 4 + 1 - 4 t + 4 t ²) = 3

sqrt(6 t^2 - 12 t + 9) = 3

Elevando os dois lados ao quadrado:

6 t^2 - 12 t + 9 = 9

6 t^2 - 12 t = 0

Colocando t em evidência:

t . (6 t - 12) = 0

Então, as soluções dessa equação são

t^' = 0

6 t ' ' - 12 = 0 -> t^(' ') = 2

Passo 3

Substituindo t^' = 0 no ponto genérico P = ( 2 - t , t , 2 - 2 t ) , encontramos

P^' = ( 2 , 0 , 2 )

Substituindo t^(' ') = 2 :

P^(' ') = ( 0 , 2 , - 2 )

Então, os dois pontos de r que distam 3 do ponto A são P^' = ( 2 , 0 , 2 ) e P^(' ') = ( 0 , 2 , - 2 ) .

Resposta

P^' = ( 2 , 0 , 2 ) e P^(' ') = ( 0 , 2 , - 2 )

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