Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 13

(a) Verifique que a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, −1, 0) e paralela ao plano π : x + y + z = 0.

(b) Calcule a distância de r a π.

(c) Existem retas contidas no plano π, que são reversas à reta r e distam 2 desta?

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

  1. Olha só: para que essa reta seja paralela a esse plano, o vetor diretor dela tem que ser perpendicular ao vetor normal do plano.

    2. Vamos verificar isso fazendo o produto interno entre eles:

    v → = 1 , - , 1 ,   0           N → = ( 1,1 , 1 )

    v → ⋅ N → = 1 ⋅ 1 - 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 0

    Como o produto interno deu zero, concluímos que eles são perpendiculares. Logo, a reta é paralela ao plano.

    Passo 2

  2. Como a reta é paralela ao plano, podemos tomar um ponto qualquer da reta e jogar na fórmula da distância de um ponto a um plano.

    3. Tomemos o ponto ( 1,0 , 1 ) da reta.

    d r , π = | 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 0 | 1 2 + 1 2 + 1 2 = 2 3

    Essa é a distância da reta ao plano 😊

    Passo 3

  3. Não. Como a distância de r a π é 2 3 , qualquer reta reversa contida em π vai ter essa distância de r .

2 3 < 2

Resposta

  1. Sim.
  2. 2 3
  3. Não.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma mudança de eixos no plano manteve a origem fixa, enquanto as coordenadas dos pontos 1 ,0 e0 ,1 passaram a ser a ,b ec ,d respectivamente. Quais são as novas coordenadas do ponto 2 ,3 ?
Uma mudança de coordenadas passou do sistema O X Y para O' X'Y' . O ponto ( 3 ,1 ) é a nova origem e os pontos ( 5 ,2 ) e ( 2 ,3 ) pertencem aos semi-eixos positivos O' X' e O'Y' respectivamente. Quai
Um subconjuntoC do plano chama-se convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de C está contido em C . Prove que o conjunto das soluções de um sistema de desigualdades lineares a d
Resolva o exercício anterior escrevendo, por meio de equações, a condição para que cada um dos pontos A ,BeC pertença ao plano a x+b y+c z=d .
Supondo a b c≠0 , escreva a equação do plano que corta os eixos O X ,O YeO Z nos pontos ( a ,0 ,0 ) ,( 0 ,b ,0 )e( 0 ,0 ,c ) respectivamente.