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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 6

Verifique se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos:

a) O R 2 com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por α x , y = α x , 0 .

b) O R 2 com x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( x 1 + 2 x 2 , y 1 + 2 y 2 ) e a multiplicação por escalar usual.

c) O R 2 com x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( y 1 + y 2 , x 1 + x 2 ) e a multiplicação por escalar usual.

d) O conjunto dos números reais positivos, com x + y = x y     e     α x = x α . Qual é o vetor nulo?

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para verificar se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos:

a) O R 2 com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por α x , y = α x , 0 .

b) O R 2 com x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( x 1 + 2 x 2 , y 1 + 2 y 2 ) e a multiplicação por escalar usual.

c) O R 2 com x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( y 1 + y 2 , x 1 + x 2 ) e a multiplicação por escalar usual.

d) O conjunto dos números reais positivos, com x + y = x y     e     α x = x α . Qual é o vetor nulo?

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para,

α x , y = α x , 0 , podemos dizer que não é um espaço vetorial pois,

1 1,1 = 1,0 ≠ ( 1,1 )

Na letra (b) para,

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( x 1 + 2 x 2 , y 1 + 2 y 2 ) para multiplicação escalar usual temos que,

Não é um espaço vetorial pois,

1,1 + 2,2 = 5,5 ≠ 2,2 + 1,1 = ( 4,4 )

Na letra ( c ) para,

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( y 1 + y 2 , x 1 + x 2 ) para multiplicação escalar usual temos,

Que não é um espaço vetorial pois,

0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,1 + 0,5 = 1,5 ≠ ( 0,1 )

E por fim na letra (d) para

x + y = x y     e     α x = x α

Temos que ela é um espaço vetorial pois,

x + y = x y = y x = y + x

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) não é um espaço vetorial.

b) não é um espaço vetorial.

c) não é um espaço vetorial.

d) é um espaço vetorial.

Exercícios de Livros Relacionados

O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam. R 3 ,x , y
Prove que em um espaço vetorial V , X + W = X + U implica que W = U .
Mostre que em um espaço vetorial o vetor nulo e único e para cada vetor V o simétrico −V também é único.
Sejam X um conjunto não vazio e V um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais de soma e multiplicação por escalar de funções, o conjunto das funções de X em V , F (X; V ), é um espaço v