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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 6c

Seja u = x , y , z , t um vetor genérico do R 4 . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do R 4 ?

  1. F u = u + 1,0 , 1,0 ;
  2. F u = 1,0 , 1,1 ;
  3. F u = x , y - z , y + z , x + t ;
  4. F u = cos ⁡ x , y , z , t .

Passo 1

Vamos lá!

Provar que F é um operador linear significa verificar se as duas condições de uma transformação linear são satisfeitas.

Mas sim, quais são essas condições? Vamos relembra-las! Seja um operador F : U → W e dois vetores u e v pertencentes a U . A primeira condição nos diz que:

F u + v = F u + F v

Se a relação acima for satisfeita, independentemente dos vetores u e v , teremos um operador linear? Não! Ainda não garantimos que ele é. Para garantir, a segunda condição também deve ser satisfeita. Então, seja um vetor u qualquer e um número real α , temos:

F α u = α F u

Então, vamos testar as condições para as aplicações F . Caso alguma delas não seja atendida, nós não temos um operador linear!

Passo 2

Então, nosso trabalho será checar as duas condições.

Começaremos então pela primeira. Sejam dois vetores u = x 1 , y 1 , z 1 , t 1 e v = x 2 , y 2 , z 2 , t 2 tais que:

F u = x 1 , y 1 - z 1 , y 1 + z 1 , x 1 + t 1

F v = x 2 , y 2 - z 2 , y 2 + z 2 , x 2 + t 2

Então, para a nossa operação F u = x , y - z , y + z , x + t , vamos verificar se a relação F u + v = F u + F v é satisfeita. Portanto,

F u + v = F u + F v

F x 1 , y 1 , z 1 , t 1 + x 2 , y 2 , z 2 , t 2 = x 1 , y 1 - z 1 , y 1 + z 1 , x 1 + t 1 + x 2 , y 2 - z 2 , y 2 + z 2 , x 2 + t 2

F x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 , t 1 + t 2 = x 1 + x 2 , y 1 + y 2 - z 1 - z 2 , y 1 + y 2 + z 1 + z 2 , x 1 + x 2 + t 1 + t 2

x 1 + x 2 , y 1 + y 2 - z 1 - z 2 , y 1 + y 2 + z 1 + z 2 , x 1 + x 2 + t 1 + t 2 = x 1 + x 2 , y 1 + y 2 - z 1 - z 2 , y 1 + y 2 + z 1 + z 2 , x 1 + x 2 + t 1 + t 2

Se vocês compararem coordenada a coordenada, temos:

x 1 + x 2 = x 1 + x 2 y 1 + y 2 - z 1 - z 2 = y 1 + y 2 - z 1 - z 2 y 1 + y 2 + z 1 + z 2 = y 1 + y 2 + z 1 + z 2 x 1 + x 2 + t 1 + t 2 = x 1 + x 2 + t 1 + t 2

E o sistema acima é uma verdade! O que tem no primeiro membro é exatamente igual ao segundo membro.

Sendo assim, isto significa dizer que F é um operador linear? Não!!!

Muita calma nesta hora! Precisamos chegar a segunda condição também!

Passo 3

Será agora se a segunda relação também é satisfeita? Então, seja u = x 1 , y 1 , z 1 , t 1 e α pertencente aos reais, temos:

F α u = α F u

F α x 1 , y 1 , z 1 , t 1 = α x 1 , y 1 - z 1 , y 1 + z 1 , x 1 + t 1

F α x 1 , α y 1 , α z 1 , v t 1 = α x 1 , α y 1 - α z 1 , α y 1 + α z 1 , α x 1 + α t 1

α x 1 , α y 1 - α z 1 , α y 1 + α z 1 , α x 1 + α t 1 = α x 1 , α y 1 - α z 1 , α y 1 + α z 1 , α x 1 + α t 1

Se vocês compararem coordenada a coordenada, verão que nós temos uma verdade. Portanto, como ambas as condições foram satisfeitas, a aplicação F realmente é um operador linear!

Resposta

Sim, F é um operador linear.

Ver Outros Exercícios desse livro

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